Билет 16
МЧ в одномерной прямоуг-й потенц-й яме с беск-но выс. сиенками.
В классич. физике частица, вывед-я из полож-я равновес. занимает сост-е с наименьш. потенц. энергией. Для того, чтобы преодолетьпотенц. батьер, его энергия д.б. больше потенц-й.
Для част., наход-ся внутри пот-й ямы,эта конфигурация поля зап-ся в виде:
U(x)={0, 0≤x≤l
{Uo, x>l,x≤0
U(x)={0, 0≤x≤l
{∞, x>l,x<0
Потенц. ящик = пот. яма.
Рассм. 3-й случай: вся область простр-ва разбив-ся на 3 обл.
1 и 3 обл. – част. в них попасть не может.
2 обл. – част. нах-ся в ней и ее пот. энерг. = 0
δ²Ψ/ δx² + (2m/ħ²)[E-U(x)] Ψ=0
Граничн. условия:
Ψ(0)=0 , Ψ(l)=0
Ψ"/ Ψ = -(2m/ħ²)[E-U(x)]
На гран-х обл. энерг. частицы -> ∞
E ->∞ Ψ->0
2 обл U(x)=0
δ²Ψ/ δx² + (2m/ħ²)E Ψ=0
Решение этого ур-я м. представ. в виде экспаненты, с пом. ф-лы Эйлера.
Ψ (x)=A sin(kx+α)
k, α - ?
они находятся из начальных усл.
x=0 => Ψ(x)=0
Asin α=0 , α=0
l=0 => Ψ(l)=0
Asin(kl)=0 , kl=πn , n=1,2...
k= πn/l
k²=2mE/ ħ² => E= k²ħ²/2m => E=2π²n²ħ²/mL²
Энергия МЧ имеет дискр. спектр знач-й.
Для нахожд-я нормирующ. множителя A, возьмем интеграл.
0∫l |Ψ|²dx =1 (усл. нормир.)
Ψ(x)=A
0∫l A²sin²( πnx/l)dx =1
0∫α A sinα dα = α/2 - sin2α/4
l/πn ∫ sin²( πnx/l)[dx(πn/l)] = l/πn 0∫πn sin²α dα
x=0
α = πnx/l α=0
x=l , α=πn
l/πn 0∫πn sin²α dα = l/πn [πn/2 – 0 – (0)*1/4 ] = l/2
l/2*A² =1 => A=√2/l
Ψ(x)= √2/l * sin( πnx/l) – опис. сост. МЧ в ящике
E=2π²n²ħ²/ml²
Анализ сост-я МЧ в пот. ящике
E=2π²n²ħ²/ml²
n=1 E=2π²n²ħ²/ml²
x=0 Ψ=0
x=l Ψ=0
x=l/2 Ψ=
Ψ(x)= √2/l * sin( πx/l)
n=1 |Ψ(x)|² = 2/l * sin² ( πx/l)
n=2 E2 = E=4π²ħ²/2ml² = 4Eo
Сост-е с n=1 – назыв-ся основным; сост-е с n>1 назыв. возбужд-м.
x=0 Ψ=0
x=l Ψ=0
x=l/2 Ψ=0
x=l/4; 3*l/4 Ψ-> max
Ψ(x)= √2/l * sin( 2πx/l)
n=2 |Ψ(x)|² = 2/l * sin² (2πx/l)
C увел-ем энерг. МЧ увелич-ся число мест, в кот. вероятн. найти эту част. одинакова .
При n-> ∞ повед-е част. стремится к повед-ю классич. част.
Как отл. класс. част. от квантовой?
Для этого посчит. разность энергий сосед. уровней (n+1) и n.
ΔE=En+1 + En = [ (n+1)² - n² ] π²ħ²/2ml²
ΔE = (2n+1)π²ħ²/2ml²
Для молекулы газа , нах-ся в объеме размером l=10см.
ΔE= 10-20n эВ
(m≈10-23 г , l=10см)- это классич. част.
Если мы возьмем свободн. эл-н в куске металла.
ΔE= 102n эВ
(m≈10-30 г , l=10 см)
Если электрон в атоме:
ΔE= 102n эВ
(m≈10-30 г , l=10-10 м)
В пределе n-> ∞ любое полож-е частицы станов-ся равновероятн.
1) Энерг. част. в пот. яме имеет дискр. спектр знач.
2) Т.к. n≠0 (иначе Ψф=0) то мин. энерг. МЧ ≠0
3)При увел-и массы част-цы она м. рассм-ся , как классич, т.к. ΔE->0
4) При n-> ∞ увелич-ся число максимумов |Ψ|² , т.е. вероятн. найти МЧ в любом месте ящика станов-ся одинаковой (классич. част.).
17-18
Прохождение частицы через потенциальный барьер бесконечной длинны
1 обл.
U(x) = 0 ( X>0)
2/x2 +(2mE/ ħ2) = 0
Решение
(x) = A1eik1x + B1e-ik1x
k12 = 2mE/ ħ2
Это решение представляет собой совокупность двух волн, распр. В противоположных направлениях. Первое слагаемое в положит. направлении оси Х(падающая волна), Второе слагаемое в отриц. Направлении (отражённая волна).
Волна де Бройля получается при домножении на временной множитель.
2 обл.
U(x) = U0 (X>=0)
2/x2 +(2mE/ ħ2)[E – U0] = 0
Решение
(x) = A2eik2x + B2e-ik2x
k22 = (2m/ ħ2)[E – U0]
Это решение образовано только волной прошедшей через барьер, т.е. В области 2 отражённой волны не существует. Поэтому B2e-ik2x = 0.
1 случай E>U0
k1 = 2/1; k2 = 2/2 => k1>k2, 1>2
Длинна волны де Бройля после входа в барьер увеличивается
2 случай E< U0
k2 = ((2m/ ħ2)[E – U0]) = (-(2m/ ħ2)[E – U0]) = ik’
k’ = ((2m/ ħ2)[ U0 – E])
ф-ция (x) внутри барьера экспоненциально уменьшается.
Внутри барьера ф-ция отлична от нуля, это означает, что вероятность найти микрочастицу за барьером тоже отлична от 0. Микрочастица проникает в барьер
Классическая частица, обладая энергией E либо отразиться от барьера, либо пройдёт над ним, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер.
R – коэф. отражения – отношение интенсивности отражённой волны, к падающей волне де Бройля
D – коэф. прозрачности – отношение числа микрочастиц прошедших через барьер (X >0) к числу частиц падающих на барьер.
R = |k1 – k2|2/|k1 + k2|2
D = 4k1k2/|k1 + k2|2
Чтобы барьер был конечным по ширине, сделаем третью область =>
(x) = A1eik1x + B1e-ik1x
(x) = A2eik2x + B2e-ik2x (B2 уже не будет равно нулю, т.к. отражённая волна может быть)
(x) = A3eik3x + B3e-ik3x (B3 равен нулю, так как после барьера для микрообъекта нет препятствий и отразиться ему не от чего)
k3 = ((2m/ ħ2)[E – U0])
В обл. 3 U(x) = 0
k3 = ((2m/ ħ2)E
Туннельный эффект – явление в рез-тате микрообъект может пройти через барьер.
Коэффициент прозрачности D потенциального барьера D = |A3|2/|A1|2
Для того, чтобы найти отношение |A3|2/|A1|2, необходимо воспользоваться условиями непрерывности и ’ на границах барьера x = 0 и x = l
1(0) = 2(0)
1’(0) = 2’(0)
2 (l) = 3(l)
2’(l) = 3’(l)
Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A2, A3, B1 и B2 через A1.
Совместное решение этих уравнений для прямоугольного потенциального барьера, в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей, даёт
D = D0exp[(-2/ ħ) (2m(U - E))l]
U – Потенциальная высота
E – Энергия частицы
l – Ширина барьера
D0 – постоянный множитель, который можно приравнять к единице
Для потенциального барьера произвольной формы имеем:
D = D0exp[(-2/ ħ)x1x2(2m(U - E))dx], где U = U(x)
Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом
Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределённостей.
Неопределённость импульса ∆p> h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (∆p)2/2m может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.
Основы теории туннельных переходов заложены работами Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича.
19
Гармонический осциллятор.
Движение осуществляется под действием квазиупругой силы.
F= - cx, md2x/dt2 + cx=0
x’’+cx/m = 0
ω02 = c/m
Если частица двигается (возбужд сост), то вероятность обнаружить её в пределах от x до x+dx определяется временем dt нахождения частицы
dt2<dt1, W2<W1
W~1/υ – плотность вероятностей обнаружить частицу пр-ва обратно пропорционально υ0, W∞
Полная энергия частицы не изменяется, но в зависимости от величины x0 (от степени возбуждения) может иметь непрерывный ряд значений.
Квантовая частица (одномерный случай)
∂2Ψ/∂x2 + 2m[E-U(x)] Ψ/ћ2 = 0
Частица находится в потенциальном поле, на неё действует квазиупругая сила.
U(x)=cx2/2, c=mω02
U(x)= mω02x2/2
∂2Ψ/∂x2 + 2m[E- (mω02x2/2)] Ψ/ћ2 = 0
Решение этого уравнения позволяет определить собственные ф-ии Ψn(x) и собств значения энергии. Из решения следует, что квантовый гармонический осциллятор может принимать только дискретные значения эн-ии.
{{Для потенциал ящика:
En=n2 ћ2(π/l)2/2m
Ψn(x)=√(2/l)*sin(nπx/l)}}
En=(1/2 + n)ћω0, n=0,1,2… - квантовое число
Квантовый гармонич осциллятор не имеет нулевого значения энергии
Wкв=|Ψ|2
n=0
En=E0= ћω02/2
Ψ0(x)~ exp(-x2/2x2) / x1/2
ω0(x)= exp(-x2/x02) / x
Вероятность обнаружить квант частицу max но в отличие от классич, частицу можно обнаружить в любом другом месте и даже за пределами амплитуды x0
Вероятность обнаружить микрочастицу min при x=0 и max в 2-х координатах.
С увеличением квант числа число «горбов» увеличивается. Результирующая кривая может быть описана непрерывной ф-ией U(x).