Вопрос 13

Сравнение ур-ия Шр. С обыкновенным волновым ур-ем. Одномерный случай. Свобод м.ч.

Волн Ур-ие: δ²S/ δx²=1/V²= δ²S/ δt²

S(x,t)=Ae^±i(wt+kx)

S(x,t)=A[cos(wt-kx)±isin(wt-kx)]

S(x,t)=Acos(wt-kx)

Ур-ие Шр. Для Ψ

U(x,t)=0-Силовое поле.

ħ²/2m* δ² Ψ/ δx²=i ħ* δΨ/δt

Ψ (x,t)= Ae^{± i/ħ (Et+px)} –Из этого Ур-ия выбросить мним. Часть нельзя т.к. получится Ур-ие для Ψ ф-ии не удовл. Ур Шр. => Статистическое истолкование

| Ψ |-пропорц вероятности найти МЧ в данном месте пр-ва, вероятность данного состояния.

Для решения Ур-ия Шредингера необходимо задать:

1)Общий вид ф-ии U(x,y,z,t) т.е силовое поле в кот. Нах. МЧ.

2)нач. Условия – вид или знач Ψ ф-ии в нач. мом. Времени.

3)Граничные усл. – знач. Ф-ии U(x,y,z,t) на границах области в которой рассматр. Движение част.

Для того , чтобы Ур-ие решалось Ψ должна удовлетворять след. Стандартным условиям:

1. Ψф-ия ложна быть непрерывна . Если она имеет разрыв то целостной картины движ МЧ получить нельзя

2. Ψф-ия должна быть одназначна. Двух и более знач Ψф-ии быть не должно т.к. знач вероятности нахожд МЧ в данном месте пр-ва единственно

3. Ψф-ия должна быть конечна для того , чтобы выполнялось ус-ие нормировки

S_∞| Ψ |²dV=1

Это ус-ие требует также того , чтобы пр-ые δΨ/δt , δΨ/δx, δΨ/δy , δΨ/δz были непрерывны. Этим обеспечивается гладкость Ψф

4) Ψф должна быть интегрируема чтобы к ней можно было применить ус-ие нормировки

Собственные ф-ии . собств знач.

Ур-ие Шр. -ħ²/2m* δ² Ψ/ ∆x² + U(x) Ψ =E Ψ

Имеет решение только для определённых значений енергии Е

Ψ1-Е1

Ψ2-Е2

Ψn-Еn

Дискретный набор знач. Дискретной енерг. МЧ

Ψ=∑Сi Ψi – принцип суперпозиции

Состояние МЧ описываемой Ψi ф-ей определено с вероятностью пропорц коэф Сi

S_∞| Сi |²dV=1 – условие нормировки определено.

Если сот. Данной МЧ описывается конкретными физ. Велич, например энергией и импульсом.

q – физ. Велич.

<q>=∑Ciqi

ф-ии Ψ1 Ψ2 Ψn –собств ф-ии а соотвеств. им значения Е1 Е2 Еn –собств. знач. енерг.

|С²| - вероятность знач физ велич q.

Билет 15

Применение квантовой механики: движ-е свобод. МЧ.

Свободным назыв-ся движ-е частицы, при котором на неё не дейст-т никикие внеш. силы.

U(x)=0

δ²Ψ/ δx² + (2m/ħ²)E Ψ=0

k²=2mE/ ħ² => k=√2mE/ ħ²

δ²Ψ/ δx² + k²Ψ=0

Ψ=e^rx δ²Ψ/ δx²=r²Ψ

r²+k²=0 – характеристич. ур-е

r_1,2= ±ik

Ψ1=C1e^ikx

Ψ2=C2e^-ikx

Ψ (x)=C1e^ikx+C2e^ikx

Если рассм. движ-е МЧ. в каком-то из напр-й, то досстаточно взять одно из частн. реш-й.

Для того, чтобы найти С1 необх. нормир-ть функ-ю на 1. В дан. случае интегралнормир-ки расход., т.к. интегриров-е произв-ся по бесконеч.пространству, поэтому сначала провод нормир-ку предполож-ем, что Ψ-периодич. ф-я с периодом T.

Ψ(x)= Ψ(x+L)

C1e^ikx= C1e^ik(x+L)

e^ikL=1 – ф-ла Эйлера

cos(kL)=1

kL=2πn => k=2πn/L

_-L/2∫^L/2 |Ψ|²dx =1

Ψ(x)= C1e^ikx

_-L/2∫^L/2 C1²dx =1

C1² L=1 => C1=1/√L

Ψ(x)= (1/√L) e^i2πkx/L

E= k²ħ²/2m => E=2π²n²ħ²/mL²

Для свободн. прост-ва L->∞

ΔE = 4π²nΔnħ²/mL² - разность меж. возм-ми энергиями частицы.

n=0,1,2....

Δn=1

p=ħk = 2πnħ/L

ΔE=2πħp/mL

Т.к. v имеет непр-й ряд значений, то и энерг. частицы имеет непр. р. знач. при L->∞ и

ΔE->0, при этом k²>0 (если k²<0, то энергия отриц., что не имеет знач-я для своб. МЧ)

Ψ(x,t)=e^iEt/ħ Ψ(x)

Ψ(x,t)= (1/√L) e^i(Et-px)/ħ