Опыт Резерфорда.

Эксперимент породил планетарное строение атома. Энергия в атоме, согласно классич представлению: T=mV²/r

U= - ke²/r (водород)

Полная энергия:

Сила: mV²/r = ke²/r²

ke²/r² – Кулон

mV²= ke²/r

T= ke²/2r

Еполн= T+U= ke²/2r - ke²/r = -ke²/r

Энергия электрона имеет непрерывный спектр в зависимости от r.

В эксперименте наблюдается дискретный спектр излучения – несоответствие.

При вращении эл-на по орбите он имеет нормальное ускорение aн. Заряженная частица, движущаяся с ускорением по классич термодинамике излучает энергию, те её энергия уменьшается и тогда эл-он должен приближаться к ядру и рано или поздно на него упадёт – 2 несоответствие.

Вопрос№6

Для того, чтобы спасти эксперимент и модель, Бор сформировал 2 постулата:

1.Среди всевозможных орбит, по которым могут двигаться электроны вокруг ядра в атоме,

существуют такие, находясь на которых электрон не излучает энергию. Такие орбиты называются стационарными.

2.При переходе из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией, электрон излучают энергию: hυ=E_i-E_j

Среди всех стационарных орбит у электрона есть одно основное состояние, в котором он может находиться сколь угодно долго – это состояние с наименьшей энергией. Все остальные стационарные состояния отличаются тем, что электрон в этом состоянии может находиться очень недолго (~10-8 сек) и переходит в другое стационарное состояние с меньшей энергией.

Такие состояния называются возбуждёнными при воздействии на атом (Эл-он) внешними источниками энергии они переходят в возбуждённое состояние из основного.

Для своей теории Бор использовал положение Планка о том, что состояние гармонического осциллятора дискретны, т.е электрон, как гармонический осциллятор в стационарном состоянии должен обладать энергией величина которой кратна hυ.

E=nћω

υ= ω/2π

h/2π = ћ

полная энергия: E=T+U

E=p²/2m + mω²x²/2

mω²x²/2 + p²/2m = nћω

Введём обобщённые координаты:

q-обобщ коорд

p-обобщ импульс

Обобщёнными координатами называются любые величины, с помощью которых может быть задано состояние частицы.

mω²q²/2 + p²/2m = nћω

q²/(2nћ/mω) + p²/2mnћω = 1

В координатах, которые образуют фазовую плоскость это выражение эллипс с полуосями

a=√(2πn/mω)

b=√(2mnћω)

фазовая траектория микрочастиц в атоме

p=f(q)

Площадь эллипса Sn=∫pdq

Sn=π√(2πn/mω) * √(2mnћω) = 2πnћ

pL

qφ

Sn=L∫dφ=2πL

L=Jω

ω – угловая скорость движения

L=m_er²ω=m_eVr

2πL=2πnћ

m_eVr = nh – условие квантования стациона. Орбит

Момент импулься квантуется.

Теория Бора: (для водорода)

Классич мех: mV²/r = kZe²/r²

Квантовая физика: m_eVr=nћ

R_n=n²ћ²/ke²m

Радиус стац орбит электронов в водороде имеет дискретный ряд значений (кратен n²)

В основном состоянии радиус орбиты электрона = r₀ – 2r₀ – размер атома водорода, что точно совпало с эксперимент данными, полученными физико-химических экспериментов молек физики.

Энергия электронов в атоме водорода.

E= - ke²/r

En = - k²me⁴/n²ћ²

Энергия имеет дискретный ряд значений.

n=1

E₁=E₀= - k²me⁴/h² = -13,53 (эВ)

Экспериментально было получено: E_ион=13,53 (эВ)

E_ион=Е_∞ - Е₀ = -13,53 (эВ)

Теория совпала с экспериментом.

Формула Бальмера:

hυ = E_i-E_j

E_i= - k²me⁴/n_i²ћ²

E_j= - k²me⁴/n_j²ћ²

υ = Rc (1/n_j² – 1/n_i²)

Теория Бора оказалась промежуточным этапом между классич и квантовой механикой.

Недостатки:

1.Была полуклассич, полуквантовой

2.Не объясняет различие интенсивности спектральных линий разной частоты

3.Непременима к более сложным чем водород атомам

4.В спектрах многих элементов наблюдаются дуплеты – двойные линии.

Тем не менее предполож Бора о том, что состояние атомов имеет дискретный ряд значений подтвердились в опытах Франка-Герца. Они рассматривали процесс взаимодействия электронов с атомами различ элементов методом задерживающего потенциала

При увеличении U электроны начинают двигаться к аноду, но при знач < 0,5 В эти электроны задерживаются сеткой – энергия мала. Тока в цепи нет. По мере увелич напряж электроны имеют энергию достаточную для преодаления пр-ва. В цепи появляется ток, который растёт в связи с приближением. Так продолжается до U=4,9 В. После чего ток в цепи резко уменьшается. При U=5,4 В ток снова увеличивается и уменьшается после 9,8 В. И т.д.

Это обусловлено тем, что электроны испытывают упр и неупр столкновения с атомами ртути. При упр соударениях энергия Эл-нов не изменяется. При неупр – они отдают энергию атомам.

На участке 0-0,5 В энергии недостаточно для достижения анодов. Их задерживает потенциал сетки = -0,5 В. На усастке 0,5-4,9 В – Эл-ны испытывают упр соударения с атомами ртути, их энергия увеличивается, они не передают эн атомов ртути и достигают анода. На участке 4,9-5,4 В – часть Эл-нов испытывает неупр соударения с атомами ртути. Передают энергию 4,9 эВ атомам ртути, переводя их в возбужд состояние и не достигают анода, и т.д.

Атом может поглащать или принимать энергию только порциями, кратными 4,9 эВ. Была подтверждена теория идея Бора о том, что процесс поглащ и испускания атомов энергии происходит порциями, дискретно.

Вопрос№7.

Исходные предпосылки возникновения квантовой механики.

1) Двойная природа света

Свет – волна(,,)

Свет – частица(E, p)

E = h; E = ħ

P = h = h/(2*c); p = ħk

h = mc²

p = h/

p = ħ2/ = ħk

 = c/; ħ = h/2

2) противоречивость теории Бора в которой использованы формула классической механики и ф-ла выражающая квантование(так же теория Бора необъясняет различия спектральных линий разных частот, не применима к к более сложным чем водород атомам, в спектрах многих Эл-тов наблюдаются дублеты, причём теорию появления дублетов теория Бора не объясняет)

Гипотеза де Бройля

Де Бройль предположил, что не только свет, но и любая частица, масса покоя которой не равна 0, обладает также и волновыми свойствами, которые для опр. Частиц и в опр. Условиях могут проявиться.

p = h/ ;  = h/mV

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля

В 1927 году американские физики К. Дэвиссон и Л. Джермер подтвердили гипотезу Бройля экспериментами, в которых поток электронов, укоренный разностью потенциалов V, направляли на поверхность кристалла никеля. И исследовали зависимость интенсивности отражённых электронов от угла отражения и от приложенного к электронной пушке напряжения V. Дифракционные максимумы соответствовали ф-ле Вульфа – Брэггов 2dSin = m, а брэгговская длинна волны оказалась в точности равной длине волны  = h/p

Полное совпадение эксперимента с теорией(т.е. с формулой)

Исследование зависимости максимума интенсивности Эл-трона если = const

I = f(V ^0,5)

2dSin = m - формула Вульфа - Брэггов

2dSin = m*12,25*10^-10*V^0.5

m  V^0.5

Вопрос№8.

Использовать для описания движения микрочастиц плоскую монохроматическую волну, формулу для  которой предложил де Бройль, невозможно, так как эта монохроматическая волна бесконечна во времени и пространстве, микрочастицы ограничены во времени и пространстве.

Сложный волновой процесс может быть представлен в виде суперпозиции опр. числа монохром. волн. Резулт. волна, построенная опр. Образом, ограничена в пространстве, т.е. можно говорить об её локализации, такая волна называется волновым пакетом или группой волн. Волновой пакет очень быстро расплывается, а частица сущ. Бесконечное кол-во времени.

В конечном счете, движение микрочастиц, и соотв. этому движению волн. Процесс, истолковала теор. Вер.

Суперпозиция плоских волн может описать волновой процесс (объект) в ограниченной области пространства.

S = C_wS_w

Преобразования Фурье

Рассмотрим группу волн, волновые числа которых, лежат в пределах [k0 + ∆k, k0 - ∆k]

k = 2/; = 2/T; = 2

S(x, t) = ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} A(k)e ^{i(t - kx)}dx

Опр. S(x,t) при следующих допущениях:

1) A(k) = A₀  f(k)

2) т.к. участок ∆k мал, то  представим в виде ряда Тейлора

 = |_k=k0 + d/dt|_k=k0(k – k₀) + d²/dk²|_k1=k0(k – k₀)²/2! + …

∆k = k – k₀

= ₀ + (d/dk)(k – k₀)

3)k = k₀ + (k – k₀)

S(x, t) = ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} A₀e^{i{[0 + (d/dk)(k – k0)]t-[k0 + (k – k0)]x}}dk =

A₀e ^{i[0t - k0x)} ^{(k0 + ∆k)}_{(k0 - ∆k)} e^{i{d/dk)t – x}(k – k0)}dk = A₀e ^{i[0t - k0x)} ^+∆k _{-∆ k} e^id

[d/dk)t – x] = ^-∆k

k – k₀ = 

Ф – лы Эйлера

^+∆k _{-∆ k} e^id = ^+∆k _{-∆ k} [Cos() + iSin()]d= ^+∆k _{-∆ k} Cos()d = 1/^+∆k _{-∆ k} Cos()d =

1/[Sin()]|^+∆k _{-∆ k} =(2/)sin(∆k) = (2/j) ∆kSinj = (2∆k)Sinj/j

S(x,t) = (2A₀∆k)(Sinj/j)cos(₀t – k₀x)

= [(/k)t - x]

j = ∆k = [(/k)t - x](k – k₀)

Вопрос№9

Волновой процесс характ-ся 2 скоростями:

1.Фазовая скорость Vф – скорость перемещ. знач. коорд-т с постоян. фазой

ωоdt – kodx=0

Vф=dx/dt=ωо/ko

Фазовая скор. в общ. случае определ-ся параметрами волны, т.е. они разные для разных волн, входящих в сост. волнового пакета.

2.Групповая скор. U – скор. перемещ-я постоян ампитуды(волн пакета).

А=const при γ0

A=2AoΔk

γ=[(dω/dk)o*t-x] Δk

(dω/dk)o*t – x=0

(dω/dk)o*dt – dx=0

U=dx/dt=(dω/dk)o

Связь между Vф и U

ω=k Vф

U=(dω/dk)= Vф+ k(dVф/dk)

k(dVф/dk)= k( dVф/dλ)( dλ/dk)= -(2π/k)( dVф/dλ)= -λ(dVф/dλ)

λ=2π/k

U= Vф- λ(dVф/dλ)

Если Vф≠f(λ) , то группов. скор. равна фазовой. Если Vф=f(λ) , то наблюдается явление дисперсии(зависим-ть скор. распред-я волны от ее длины).

Пример: Рассмотрим эл-магн. волну.

Vф=1/√εoμo * 1/√εμ = c/√εμ

Вакуум : ε=1, μ=1 => Vф=c

Vф≠f(λ) – волны любой длины распр. в вакууме с одинак. скоростью (дисперсии нет ).

Вещ-во : ε≠1, μ≠1 => n= √εμ => Vф=c/n , n-показатель преломления.

Из опыта и теории известно: n= f(λ)

В вещ-ве наблюдается дисперсия эл-магн. волн.

Вопрос№10

Волны де Бройля.

Микрочастица : частица E,p

волна λ, ω

Ψ(x,t)=Ae^±i(ωt-kx)

E=ħω ; p=ħk

ω=E/ħ k=p/ħ

Ψ(x,t)=Ae^{±i/ħ(Et-px)} - плоская монохроматическая волна де Бр.

Знак (-) выбирается потому что с ним удобнее работать.

Ψ(x,t)=A(x,t)e^{±i/ħ(Et-px)}

Пакет волн де Бр. лучше, чем монохром. волна, отраж-т св-ва МЧ, как частицы.

Св-ва волн де Бр-ля

1.Фазовая скор. волн де Бр-ля больше скор-ти света в вак.

Vф= ω/k= ħω/ħk=E/p=mc²/mv= c²/v

v<c – Vф>c

Фазовая скор. не опис-т движение МЧ.

2.Волны де Бр-ля облад-т дисперсией в вак.

Vф =E/p

E= moc²+ p²/2m – нерелятивистская частица

Vф=moc²/p=p/2mo

p= f(λ) (λ=h/p)

Vф=f(λ)

В отличие от эл-магн волн волны де Бр-ля облад-т дисперсией в вак.

3) Групп-я скор. равна скорости движения МЧ.

U=(dω/dk)=d(ħω)/d(ħk)=dE/dp

E= moc²+ p²/2m

U=dE/dp=2p/2m=p/m=mv/m=v

U=v

3.На длине окружн-ти стацион-й орб-ты в атоме Бора уклад-ся целое число длин волн де Бр-ля.

Раз квантуется энерг., то квантуется и импульс => момент имп-са.

mvr=nħ , mv=p, λ=h/p , p= h/ λ

r (h/ λ)=nħ => h=2nħ

r(2ħπ/ λ)= nħ => 2r π=n λ

Статистич. истолкование волн де Бройля.

Волновые св-ва МЧ описыв-ся с пом-ю ф-и Ψ.

Ψ(x,t)=Ae^{±i/ħ(Et-px)}

Одномерный случай

Ψ(x,t)=A(x,t)e^{±i/ħ(Et-px)}

Эти ф-и в общем случае явл-ся мнимыми. Кроме того, в отл-е от волны, кот. может частично отразиться, част-но преломиться, т.е. делиться, МЧ может или только отразиться или пройти в вещ-во. Монохром. волна де Бройля не может припис-ся к МЧ , т.к. онане ограничена в пространстве и во времени., а частица ограничена.Пакет волн де Бр-ля также не может описать сост-е и повед-е МЧ, т.к. он мгновеннорасплывается во врем.

Δt=mo/h(Δx) ²

Δx – размер объекта

Пример : mo = 10^-3 , Δx=10^-3

Δt= 10²⁵ сек

классическая частица сущ-т миллиарды лет.

Для МЧ : mo = 10^-30 , Δx=10^-10

Δt= 10^-17 сек

М.Борн в 1926 – истолковал волны де Бройля.

Интенсивность волн де Бр-ля в данном месте пространства, есть мера вероятн-ти обнаруж-я чатсицы в этом месте в данный мом-т вр. В беск-но малой окрест. точки (x,y,z) простр-ва велич. dW=|Ψ|²* dV - есть вероятн-ть обнаруж-я МЧ в этой окрест. в дан. мом-т вр. Тогда волна dW/dV=|Ψ|² - плотность обнаруж-я частицы в единич. обйеме.

v(x,t) – не имеет физ-й смысл

|Ψ|² - имеет физ. смысл

|Ψ|²= ΨΨ = A² => J~A²

Интенсив-ть волны де Бр-ля пропорц-на A².

Мысленный экспер-т:

Если электрон- частицы, то 2 картины (от кажд. из щелей) на экране наблюд-я должны сложиться, так что результир-я имеет вид.

В действит-ти, на Э.Н. возн-т картина интерференции на 2-х щелях с Max.

Max=± mλ

Min=± (2m+1) λ/2 } λ=h/p

λ – длина волны де Бр-ля электрона.

Наблюд-я карт. не завис. от того, падает ли на щель поток эл-в или един-е эл-ны в течение длит. врем. В послед. случае возн-т такая же карт., но для наблюд-я необходимо долгое врем. В принципе, нельзя предсказать, через какую щель или в каком направл-и проход. тот или иной эл-н. То, что эл-н не делится подтвержд-ся наличием точки на фотоплачтине, в котор. он попал после прохожд-я щели (Фотопласт. располож на экр. наблюден.). Наличие такой карт. интерференц. позвол-т говорить о вероят-ти попад-я в Max, как о большой; min – вероятн. мала.

Рассматривая движ-е МЧ, при определ-х условиях нельзя говор. о траект-и ее движ-я. Можно говор. лишь о вероятн. знач-ях импульса и коорд-ты. Эти величины МЧ определ-ся с погрешн-ми, котор. назыв-ся неопредел-ми.

Вопрос№11

∆x≥2π/∆k неопределенность координат микро частицы

∆k=∆p_x/ħ ∆p_x- неопределенность импульса микро частицы

∆x *∆p_x≥2π ħ

соотношение неопределенностей Гейзерберга

∆y*∆p_y=2π ħ

∆z*∆p_z=2π ħ

Если точно определить импульс микро частицы, то есть ∆p=0, то её положение не известно.

∆x≥2π/∆p_x→∞

Если ∆x=0, определено место положение, то её импульс не известен.

У классической частицы неопределенности в одновременном опред, импульса и координат, гораздо меньше значений этих величин.

Т.е. можно говорить о точном одновременном определении и импульса, и координат.

Существует соотношение неопределенностей для величин энергии и времени её изменения.

Нерелятивиская частица: E=p²/(2m₀). ∆E=2p*∆p/(2m₀)= m₀*v*∆p/m₀=∆x*∆p/∆t

∆E*∆t =∆p*∆x p≡p_x (рассмотрим одномерный движене)

∆E*∆t≥2π ħ Чем меньше время ∆t , изменение энергии микро частицы, тем больше в её величине неопределенности.

Чем точнее мы измеряем энергию микро частицы, тем мение точно измеряем момент времени в который частица имеет эту энергию.

2ой способ получения выражений для соотношений неопределенностей получается при рассмотрении дифракции микро частицы на щели.

dsinφ=mλ ∆p_x/p=sinφ

1.импульс влетающей частицы

2.∆p_x

3.p

При этом для первого min:

d= ∆x

∆x*sinφ=λ

∆x*∆p_x/p=λ

∆x*∆p_x=p* λ; λ=h/p=2πħ/p

∆x*∆p_x≥2πħ Знак > появляется, т.к. частицы попадают и в места экрана за первым min.

В некоторых условиях движение частицы может быть описано с помощью траектории.

Вопрос№12

Движение частицы в классическом и квантовом случае.

Классический случай:

1.Траектория движения частицы известна.

2.Состояние полностью определено x(t), P_x(t)

3.II з. Ньютона F=dp/dt; → v(x)→p_x(t)→x(t);

Квантовый случай:

1.Траектории нет, есть лишь вероятность нахождения частицы

2.Состояние микро частицы определяется вероятностями |Ψ|² и |C|²

3.Уравнение Шредингера → |Ψ|² и |C|²

Свойства волнового уравнения для микро частицы.

1.Уравнение должно быть линейным, для того, что бы выполнялся принцип суперпозиции состояний

2.Уравнение не должно содержать величин E и p микрочастицы в виде параметров (конкретных значений) т.к. любое конкретное значение предполагает 100% вероятность, а принципе суперпозиции говориться о вероятности того или иного значения отличных от 1.

Общий вид уравнения Шредингера

Это уравнение не выводится, а только получается из выражения для плоской монохроматической волны Де Броля при дифференцировании его 2 раза по x и один раз по t.

Ψ(x,t)=A*exp[-i/ħ*(Et-px)] p:=p_x

∂Ψ/∂x= A(-i/ħ)(-p)*exp[-i/ħ*(Et-px)]

∂²Ψ/∂x²=A(-i/ħ)(-p)*(-i/ħ)(-p)*exp[-i/ħ*(Et-px)]=(-p²/ħ²)*Ψ*(ħ²/2m)

∂Ψ/∂t= A(-i/ħ)*E*exp[-i/ħ*(Et-px)]=(-i/ħ)*E*Ψ*iħ

(-ħ²/2m)*(∂²Ψ/∂x²)=p²/2m*Ψ

iħ*(∂Ψ/∂t)=E*Ψ

1.Свободная микро частица

E=p²/2m→ (-ħ²/2m)*(∂²Ψ/∂x²)= iħ*(∂Ψ/∂t) – уравнение Шредингера

2.Частица в потенциальном поле

E=p²/2m+U(x,t);

E*Ψ=p²/2m*Ψ+U(x,t)*Ψ

(-ħ²/2m)*(∂²Ψ/∂x²)+U(x,t)*Ψ =EΨ - уравнение Шредингера

U(x,t) – потенциальное силовое поле.

В трехмерном случае, эти уравнения имеют вид:

(-ħ²/2m)*(∆Ψ)= iħ*(∂Ψ/∂t)

(-ħ²/2m)*(∆Ψ)+U(r,t)*Ψ =EΨ

∆ - оператор Лапласа ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²

В случае свободной микрочастицы её волновые свойства описываются плоской монохроматической волной Де Бройля. Поэтому первое уравнение имеет в решении эту волну.