1.1.3. Баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии мощность, потребляемая в электрической цепи, должна быть равна мощности, поставляемой источниками. В состав потребляемой мощности входит мощность, рассеиваемая в сопротивлениях, а также мощность источников, находящихся в режиме потребителей.

Уравнение баланса мощностей имеет вид:

(1.8)

или

. (1.9)

В левой части равенства (1.9) записана алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на токи, протекающие через эти источники, и произведений токов источников тока на напряжения на их зажимах.

Примеры для определения знаков слагаемых приведены на рис.1.7.

В правой части уравнения баланса мощностей (1.9) записана арифметическая сумма произведений сопротивлений на квадраты токов, протекающих по этим сопротивлениям.

Рис.1.7. Примеры для определения знаков мощностей источников

Пример 3. Составить баланс мощностей для схемы, которая приведена на рис. 1.6. Дано: Е₁ = 10 В; Е₂ = 5 В; Е₃ = 4 В; r₁ = 5 Ом; r₂ = 5 Ом; r₃ = 1 Ом; r₄ = 4 Ом; r₅ = 2 Ом; r₆ = 3 Ом; r₆ = 5 Ом; I₁ = 0,66 А; I₂ = 0,87 А; I₃ = 1,53 А; I₄ = – 0,93 А; I₅ = 0,27 А.

Решение.

.

Подставляя значения E, r, I из данных задачи, получаем суммарные мощности источников и потребителей:

Расхождение между значениями мощности источников и потребителей определяется выражением:

;

.

Данное расхождение не должно превышать 3 %. В данном случае можно считать, что баланс мощностей сходится.

1.2. Задание № 1 на расчет цепи постоянного тока

Условие задачи. В заданной цепи (рис.1.9, схемы 1 – 30) действует источник постоянной ЭДС Е. Определить значения тока ветвей и напряжение U_аb. Составить баланс мощностей и в общем виде уравнения по законам Кирхгофа для определения токов ветвей. ЭДС задана в вольтах, сопротивления – в омах. Ответ приведен под схемой.

В расчетной схеме, приведенной на рис. 1.8, задано: Е = 80 В; r₁ = 20 Ом; r₂ = 40 Ом; r₃ = 15 Ом; r₄ = 25 Ом; r₅ = 20 Ом.

Рис.1.8. Расчетная схема для определения U_ab

Решение. Резистор r₅ закорочен и поэтому в расчетах не участвует, соответственно А.

Рис.1.9. Расчетные схемы для определения значений тока и напряжения U_ab

Рис. 1.9, лист 2

Рис. 1.9, лист 3

Напряжение U_ab можно определить двумя способами –

а) через разность потенциалов:

Один из потенциалов необходимо принять за ноль. Например, Тогда относительно этого потенциала можно определить значения потенциалов других точек, В:

б) по второму закону Кирхгофа, например, для контура аdbа

Отдаваемая источником мощность Мощность потребителей Так как , то имеет место баланс мощностей.

2. Цепи синусоидального тока

2.1. Сведения из теории

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

(2.1)

где I_m – максимальное значение или амплитуда тока;

– угловая частота;

– фаза;

– начальная фаза.

Угловая частота , частота f и период Т связаны соотношением:

(2.2)

По выражению (2.1) на рис. 2.1,а построен график функции а на рис. 2.1,б – соответствующая век­торная диаграмма.

Рис. 2.1. Синусоидальная функция и ее представление вращающимся вектором:

а – зависимость от времени; б – вращающийся вектор;

в – вектор на комплексной плоскости

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω вектора I_m (см. рис. 2.1,б) на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону, поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором. На рис. 2.1,в изображен вектор тока с проекциями и

При проведении расчетов удобным оказывается рассмотрение вращающегося вектора на комплексной плоскости. В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусоидально изменяющийся ток i(t) – как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на :

, (2.3)

тогда при t = 0 можно записать:

(2.4)

На практике широкое распространение получил символический (комплексный) метод расчета [4] сущность которого состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференци­альных уравнений, составленных для мгновенных значений, к ал­гебраическим, составленным относительно комплексов амплитудных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действующих значений , , и . Например, если

, (2.5)

то комплексное действующее значение напряжения

(2.6)

где

Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 2.2) уравнение для мгновенных значений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется так:

(2.7)

или

(2.8)

Переходя к комплексным действующим

значениям напряжений, получим уравнение:

(2.9)

где r – активное сопротивление цепи;

– комплексное индуктивное сопротивление цепи;

– комплексное емкостное сопротивление цепи.

Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на 90^о. Множитель показывает, что вектор напряжения на емкости С отстает от вектора тока на 90^о. На активном сопротивлении r векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Величина называется комплексным сопротивлением цепи (см. рис. 2.2), а – ее комплексной проводимостью, где g и b – активная и реактивная составляющие проводимости цепи.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм: алгебраическая – показательная – ; тригонометрическая – полярная –

Геометрически любому комплексному числу А можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости с координатами или радиус-вектор длиной а единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом к оси абсцисс (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Изображение числа на комплексной плоскости

Из рис. 2.3 очевидны формулы перехода от одной формы записи комплексного числа к другой: ;

А лгебраическая форма применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная – при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. Умножение числа на мнимую единицу сводится к повороту вектора на угол 90^о против часовой стрелки, умножение на – к повороту на угол 90^о по часовой стрелке (рис. 2.4), а умножению на –1 соответствует поворот на ±180^о.

Полное комплексное сопротивление цепи Z и сопротивления ее участков (r, L и C) геометрически связаны треугольником сопротивлений (рис. 2.5, а, б):

а) если , то ;

б) если , то , ,

где , .

а б

Рис. 2.5. Треугольники сопротивлений при нагрузке:

а – активно-индуктивной; б – активно-емкостный

Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи одного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной форме.

Для расчета электрических цепей переменного тока символическим мето­дом применяются все методы, описанные выше для цепей постоянного тока.