1. Цепи постоянного тока

1.1. Сведения из теории

1.1.1. Метод преобразования электрических цепей

Для расчета токов в сложных линейных электрических цепях в основном применяются методы преобразования, контурных токов, узловых потенциалов, а также расчеты, основанные на использовании законов Кирхгофа [3, 4].

Методы преобразования состоят в упрощении сложной цепи путем ее эквивалентного преобразования.

1. Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным представлена на рис. 1.1.

а б

Рис. 1.1. Преобразование электрических цепей:

а – исходная цепь; б – эквивалентное сопротивление

Эквивалентное сопротивление последовательного соединения

. (1.1)

2. Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным (рис.1.2).

a б

Рис. 1.2. Преобразование электрических цепей:

а – исходная цепь; б – эквивалентное сопротивление

_{Эквивалентное сопротивление параллельного соединения определяется согласно выражению для проводимостей ветвей:}

(1.2)

(1.3)

3. Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным (рис.1.3): аналогично в итоге

а

б в

Рис.1.3. Преобразование смешанного соединения сопротивлений:

а – исходная цепь; б – промежуточное преобразование; в – эквивалентное сопротивление

Пример 1. Найти токи ветвей цепи (см. рис. 1.3).

Дано: U = 48 В; r₁ = 3 Ом; r₂ = 2 Ом; r₃ = 4 Ом; r₄ = 0,2 Ом;

r₅ = 6 Ом; r₆ = 2 Ом; r₇ = 0,3 Ом.

Решение. Сначала необходимо определить эквивалентное сопротивление r_э:

Полученное эквивалентное сопротивление rэ является входным (общим) сопротивлением цепи. По закону Ома входной ток:

Токи I₂ и I₃ определим через напряжение U_ab, токи I₄ и I₅ – через U_cd:

1.1.2. Законы Кирхгофа

_{Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами элек­тротехники.}

П ервый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле элек­трической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи за­писываются с одним знаком, отходящие – с другим. Например, для узла, изображенного на рис. 1.4, можно запи­сать первый закон Кирхгофа:

(1.4)

или

(1.5)

Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов схемы.

Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электри­ческой цепи: алгебраическая сумма падений напряжения на участках кон­тура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком «плюс», если не совпадает – со знаком «минус». Падение напряжения на элементе берется со знаком «плюс», если направление тока в элементе совпадает с направлением об­хода, если не совпадает – со знаком «минус».

У равнения по второ­му закону Кирхгофа составляются для независи­мых контуров – контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной но­вой ветвью. Например, для контура, показанного на рис.1.5, можно за­писать:

. (1.6)

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, можно определить по формуле:

(1.7)

где p – число ветвей схемы;

q – число узлов схемы.

Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа:

1) произвольно выбираются направления токов ветвей, число токов равно числу ветвей схемы; токи ветвей с источниками тока известны;

2)Iзаписываются уравнения по первому закону Кирхгофа; их число на единицу меньше числа узлов схемы;

3) выбираются независимые контуры и направления их обхода;

4)Iзаписываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих в себя источники тока, не составляются;

5) в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

Пример 2. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения значений токов ветвей в схеме, приведенной на рис.1.6.

Рис. 1.6. Схема, демонстрирующая применение законов Кирхгофа

Решение. В схеме (см. рис.1.6) пять ветвей, три узла и пять неизвестных токов. Тогда для расчета токов данным методом необходимо составить систему из пяти уравнений, в которой два уравнения должны быть записаны по первому закону Кирхгофа и три – по второму.

Произвольно выбираем направления токов в ветвях, три независимых контура и направления их обхода (например, по часовой стрелке). По первому закону Кирхгофа записываем уравнения для 1-го и 3-го узлов, по второму закону – для обозначенных на схеме контуров. Записываем систему из пяти уравнений, совместное решение которых дает искомые токи: