Практическое занятие №19

Наименование занятия: Интегрирование иррацио­нальных функций.

Универсальная подстановка

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных и иррациональных функций.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

Вычислить неопределенные интегралы

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5
6
7
8

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе

2. Выполнить задания

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;

2. Выполненное задание;

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как вычислить интеграл от иррациональной функции?

2. В чем заключается тригонометрическая подстановка? Для каких интегралов она используется?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вычисление интегралов от иррациональных функций

Принцип решения интегралов вида и аналогичен решению интегралов от рациональных функций.

Пример 1.

Решение. Для решения этого интеграла выделим из квадратного трехчлена в знаменателе полный квадрат. Тогда

=

Пример 2.

Решение. Т.к. , то

Пример 3.

Решение. , , подставим в интеграл, получим

=

Вычисление интеграла вида где n- натуральное число

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример 4.

Решение.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Пример 5.

Решение.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример 6.

Решение. Выполним тригонометрическую подстановку:

Пример 7.

Решение.

Пример 8.

Решение