Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(x) = f(x).

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается: ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

( f(x)dx)′ = f(x)

2) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

 a∙f(x)dx=a∙ f(x)dx (a=const)

3) Интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) интегралов от этих функций, т.е.

 (f(x) ±g(x))dx =  f(x)dx ±  g(x)dx.

Таблица основных интегралов

1. , (n ≠ -1)

2. 

3. 

4. 

5. 

6. tg x + C

7. -ctg x+ C

8. ∫ tg x dx = -

9. ∫ ctg x dx =

10. 

11. 

12. arctg x +C

13. arctg

14. 

15. arcsin x + C

16. arcsin

17. 

18. 19.

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

‌ Пример 1.

Решение. Для вычисления интеграла сначала воспользовались 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применили 4, 1 и 10 табличные интегралы.

Пример 2. .

Пример 3.

.

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Пример 4. Вычислить: ∫ (2x +3)⁵dx

Решение. Введем новую переменную t = 2x + 3, тогда dt = t′ ∙ dx = (2x +3)′ ∙dx = 2dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 2x + 3 подставим t, вместо dx подставим ):

∫(2x +3)⁵dx = ∫ t⁵ ∙ = ∙∫ t⁵ dt = .

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 2x +3) и получим окончательный ответ:

∫(2x +3)⁵dx = = (2x +3)⁶ + С.

Пример 5. Вычислить:

Решение. Введем новую переменную t = 5+e^x, dt = (5+e^x)′∙dx = e^x∙dx, dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = = = -

3. Интегрирование по частям

Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где - это многочлен степени п, а является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией. Формула метода:

,

где u и dv выбираются в соответствии с правилами:

1. Если - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену и применить формулу интегрирования по частям.

2. Если - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , .

3. Интегралы вида , (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Положим , ; тогда , . Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Пример 7. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится ко 2 типу. Выполним замену:

, , ,

=

Пример 8. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Выполним замену:

, , ,

=

(Получили интеграл, который решается интегрированием по частям. Выполним замену еще раз: , , , и подставим ее в интеграл)

.

Пример 9. Вычислить

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.