Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами, причем и f(x) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(п)=а_п. тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при >1 и расходится 1. Ряд называется обобщенным гармоническим рядом.

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Признак Лейбница

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u_i убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам: 0 < S < u_n.

Теорема. Пусть даны знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Абсолютная и условная сходимость рядов

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из модулей его членов.

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, т.к.

и , то данный ряд сходится.

Ряд, составленный из модулей его членов , по признаку Даламбера сходится, следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (2), составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, т.к.

и , то данный ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов: Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, данный ряд является условно сходящимся.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Пусть дан знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при <1 данный ряд будет абсолютно сходящимся, а при >1 - расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при <1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Практическое занятие №30

Наименование занятия: Нахождение области сходимости степенного ряда.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Цель занятия: Научиться находить область сходимости степенных рядов, раскладывать элементарные функции в ряд Маклорена.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория рядов».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие: