Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

(1)

Для отыскания общего решения данного уравнения сначала составляется характеристическое уравнение

, (2)

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Затем решается уравнение (2) и в зависимости от характера корней k₁ и k₂ записывается общее решение.

1-й случай. Корни k₁ и k₂ действительные и различные (D>0).Тогда общее решение имеет вид:

2-й случай. Корни k₁ и k₂ действительные и равные (D=0), т.е. k₁ = k₂ = k .Тогда общее решение имеет вид:

3-й случай. Корни k₁ и k₂ комплексно сопряженные (D<0), т.е , .Тогда общее решение имеет вид:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Тогда общее решение будет выглядеть следующим образом:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение примет вид:

Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Решение. Сначала запишем и решим характеристическое уравнение . Его корни: Следовательно, общее решение имеет вид:

Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных С₁ и С_2. Для этого подставим в общее решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате получим одно из уравнений, связывающее С₁ и С₂:

1 = С₁ + С_2.

Второе уравнение относительно С₁ и С₂ получим, продифференцировав общее решение:

и подставим в найденное выражение заданные значения х = 0 и :

-1 = С₁ + 2С_2.

Решив систему уравнений , получим С₁ = 3, С₂ = - 2.

Подставим найденные значения С₁ и С₂ в общее решение. Тогда искомое частное решение примет вид:

Практическое занятие №29

Наименование занятия: Исследование числовых рядов на сходимость

Цель занятия: Научиться исследовать на сходимость числовые ряды.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория рядов».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Доказать расходимость рядов, используя следствие из необходимого признака сходимости

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5