Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у′ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у′ = f₁(x) ∙ f₂(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Решение. Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+x²)dy – 2x(y+3)dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Решение. Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2x(y+3)dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+x²)(y+3)).

Получим: ,

,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1. . Введем новую переменную t = у+3, тогда dt = (у+3)′∙ dу = dу, т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln +C = ln +C

2. . Введем новую переменную t = 1+x² , тогда dt = (1+x²)′∙ dx = 2xdx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: , и найдем С: С = ln 2.

Затем подставим в общее решение получившееся значение C:

Практическое занятие №27

Наименование занятия: Решение однородных и линейных дифференциальных уравнений

первого порядка

Цель занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5
6