§ 19. Оценка точности измерений

В теорий ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения  случайных ошибок изме­рений. Для оценки  используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно резуль­таты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточ­ных измерений), то теория, изложенная в предыдущем параграфе, применима для уценки точности измерений.

Пример. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,12. Найти точность измере­ний с надежностью 0,99.

Решение. Точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением  случайных ошибок, поэтому задача сво­дится к отысканию доверительного интервала (*), покрывающего  с заданной надежностью 0,99 (см. § 18).

По таблице приложения 4 по =0,99 и n=15 найдем q=0,73. Искомый доверительный интервал

0,12(1—0,73) <  < 0,12(1+0,73), или 0,03 <  < 0,21.

§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте

Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.

А. Точечная оценка. В качестве точечной оценки не­известной вероятности р принимают относительную частоту

,

где m - число появлений события А; п — число испыта­ний ^*).

Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожи­дание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М(т) = пр (см. гл. VII, § 5), получим

M(W) = M[m/n] = M(m)/n = np/n=p.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D(m )= npq (см. гл. VII, § б):

D(W) = D[m/n] = D(m)/n² = npq/n² = pq/n.

Отсюда среднее квадратическое отклонение;

Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный ин­тервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. XII, § 6) была выведена формула, позволяющая найти вероятность того, что аб­солютная величина отклонения не превысит положитель­ного числа :

P(X-a< ) = 2Ф(/), (*)

где Х - нормальная случайная величина с математи­ческим ожиданием М(Х)=а.

Если n достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать, что от­носительная частота распределена приближенно нор­мально, причем, как показано в п. A, M(W)=p.

^*) Напомним, что случайные величины обозначают прописными, а их возможные значения — строчными буквами. В различных опытах число т появлений события будет изменяться и поэтому является случайной величиной М. Однако, поскольку через М уже обозначено математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа появ­лений события обозначение т.

Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину Х и ее математическое ожидание а

соответ­ственно случайной величиной W и её математическим ожиданием р, получим приближенное (так как относи­тельная частота распределена приближенно нормально) равенство

P(W-p< ) = 2Ф(/_W), (**)

Приступим к построению доверительного интервала (p₁,p₂) который с надежностью  покрывает оцениваемый параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью которых был построен доверительный интервал в гл. XVI, § 15. Потребуем, чтобы с надежностью  выполнялось соотношение (**):

P(W-p< ) = 2Ф(/_W)= .

Заменив _W через (см. п. А), получим

где .

Отсюда

и, следовательно,

Таким образом, с надежностью  выполняется нера­венство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относи­тельной частотой w и подставим 1 - р вместо q):

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

[(t²/n) + 1]p² - 2[w + ( t²/n)]p + w² < 0.

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому его корни действительные и различные:

меньший корень

(***)

больший корень

(****)

Итак, искомый доверительный интервал р₁ < p < p₂, где р₁ и p₂ находятся по формулам (***) и (****).

При выводе мы предположили, что w < p; тот же результат получим при w < p.

Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях события А появилось 16 раз.

Решение. По условию, n=80, m=16, =0,95. Найдем относительную частоту появления события А:

w = m/n = 16/80 = 0,2.

Найдем t из соотношения Ф(t) = /2 = 0,95/2 = 0,475; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t=1,96

Подставив n=80, w=0,2, t=1,96 в формулы (***) и (****), получим соответственно р₁ =0,128, p₂=0,299

Итак, искомый доверительный интервал 0,128 < p < 0,299.

Замечание 1. При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые t²/(2n) и (t²/(2n))² очень малы и множитель n/(t²+n)  1, поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

и .

Замечание 2. Чтобы избежать расчетов концов доверительных интервалов, можно использовать табл. 28 книги: Янко Я. Математико-статистические таблицы. М., Госстатиздат, 1961.