§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном
Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение о неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно воспользоваться результатами предыдущего параграфа, в котором а предполагалось известным.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t):
,
которая имеет распределение Стьюдента с k=n—1 степенями свободы (см. пояснение в конце параграфа); здесь - выборочная средняя, S - «исправленное» среднее квадратическое отклонение, п—объем выборки. Плотность распределения Стьюдента
,
где
.
Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром п - объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы k=n—1) и не зависит от неизвестных параметров а и ; эта особенность является его большим достоинством. Поскольку S(t,n)—четная функция от t, вероятность осуществления неравенства
определяется
так (см. гл. § XI, 2, замечание):
Р
Итак, пользуясь распределением Стьюдента,
мы нашли доверительный интервал
,
покрывающий неизвестный параметр а
с надежностью .
Здесь случайные величины
и
S заменены неслучайными
величинами
и
s, найденными по выборке.
По таблице приложения 3 по заданным n
и
можно найти t.
Пример. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n==16 найдены выборочная средняя =20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Решение. Найдем t . Пользуясь таблицей приложения 3, по =0,95 и п==16 находим t = 2,13.
Найдем доверительные границы:
Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626.
Замечание. Из предельных соотношений
следует, что при неограниченном возрастании объема выборки п распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при п > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.
Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (п < 30), в особенности для малых значений п, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, если п = 5 и =0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, найдем t =4,6 а используя функцию Лапласа, найдем t =2,58, т. е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.
То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.
П о я с не н и е. Ранее было указано (см. гл. XII, § 14), что если Z—нормальная величина, причем M(Z)==0, (Z)==l, a V—независимая от Z величина, распределенная по закону 2 с k степенями свободы, то величина
(*)
распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы.
Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем М(Х)=а, (Х)= . Если из этой совокупности извлекать выборки объема п и по ним находить выборочные средние, то можно доказать, что выборочная средняя распределена нормально, причем (см. гл. VIII, § 9)
М(
в,)=а,
(
в,)=
.
Тогда случайная величина
(**)
также имеет нормальное распределение как линейная функция нормального аргумента в (см. гл. XII, § 10, замечание), причем M(Z)=0, (Z)=l.
Доказано, что случайные величины Z и
V=((n-1)S2)/ 2 (***)
независимы (S2—исправленная выборочная дисперсия) и что величина V распределена по закону 2 с k = п—1 степенями свободы.
Следовательно, подставив (**) и (***) в (*), получим величину
которая распределена по закону Стьюдента с k=n—1 степенями свободы.