§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное зна­чение а которой неизвестно. Будем рассматривать резуль­таты отдельных измерений как случайные величины X₁, X₂, … , X_n. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожида­ние а (истинное значение измеряемой величины), одина­ковые дисперсии о² (измерения равноточны) и распреде­лены нормально (такое допущение подтверждается опы­том). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в двух предыдущих параграфах, выполняются, и, следовательно, мы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой вели­чины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи довери­тельных интервалов. Поскольку обычно о неизвестно, следует пользоваться формулами, приведенными в § 16.

Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметической результатов отдельных измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью =0,95.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к. оценке мате­матического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверитель­ного интервала

покрывающего а с заданной надежностью =0,95

Пользуясь таблицей приложения 3, по =0,95 и п==9 находим t_ =2,31.

Найдем точность оценки:

Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой вели­чины заключено в доверительном интервале

38,469 < а < 46,169.

§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения о нормального распределения

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое откло­нение  по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр ст с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(-s< )=, или Р(s- <  < s+)=.

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство

s- <  < s+

в равносильное неравенство

s(l—/s) <  < s(l+/s).

Положив /s = q, получим

s(1-q) <  < s(1+q). (*)

Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»:

где п - объем выборки.

Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина S² (n—1)/ ² распределена по закону ² c п—1 степенями свободы, поэтому "квадратный корень" из нее обозначают через .

Плотность распределения  имеет вид (см. пояснение в конце параграфа)

(**)

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит лишь от объема выборки п.

Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид ₁ <  < ₂. Вероятность этого неравенства (см. гл. XI, § 2) равна заданной вероятности , т. е.

.

Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так:

Умножив все члены неравенства на , получим

или

Вероятность того. что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна

Из этого уравнения можно по заданным п и  найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей при­ложения 4.

Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, полу­чим искомый доверительный интервал (*), покрывающий  с заданной надежностью , т. е. интервал

s(1-q) <  < s(1+q).

Пример 1. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п=25 найдено «исправ­ленное» среднее квадратическое отклонение s==0,8. Найти доверитель­ный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,95.

Решение. По таблице приложения 4 по данным =0,95 и п=25 найдем q=0,32.

Искомый доверительный интервал (*) таков:

0,8(1—0,32) <  < 0,8(1+0,32), или 0,544 <  < 1,056.

Замечание. Выше предполагалось, что q < 1. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что  > 0)

0 <  < s(1+q),

или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1)

Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения

.

Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным п и , пользуются таблицей приложения 4.

Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п=10 найдено «исправ­ленное» среднее квадратическое отклонение s==0,16. Найти довери­тельный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,999.

Решение. По таблице приложения 4 по данным =0,999 и п=10 найдем q=1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

0 <  < 0,16(1+1,80), или 0 <  < 0,448.

Пояснение. Покажем, что плотность распределе­ния  имеет вид (**).

Если случайная величина Х распределена по закону ² с k=n—1 степенями свободы, то ее плотность рас­пределения (см. гл. XII, § 13)

или после подстановки k = п—1

Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10).

g(y)=f[(y)] '(y),

чтобы найти распределение функции

Отсюда обратная функция

x=()=² и '()=2.

Так как  > 0, то '()= 2, следовательно,

Выполнив элементарные преобразования и изменив

обозначения (g'(), заменим на R (, п)), окончательно получим