2.2. Применение преобразований Лапласа к решению уравнений

; m<n (2.2.20)

С начальными условиями

...

(2.2.22.)

(22.3)

Или

(2.2.23.)

где - полином по p степени n.

- полином по p степени m.

- полином по p степени n-1.

Из (22.4) следует

(2.2.24.)

Решение (22.5) представляет собой решение уравнения (2.2.1) в комплексной плоскости Р.

Для нахождения решения уравнения (2.2.1) во временной области применим обратные преобразования Лапласа:

(2.2.5)

В соответствии (2.2.6) первое слагаемое представляет совой движение системы под действием вынуждающей силы (правая часть уравнения 2.2.1, действующий на систему.

Второе слагаемое представляет собой собственное движение системы.

Если начальные условия равны нулю:

(2.2.26)

При этом первое слагаемое представляет собой частное решение неоднородного уравнения

(2.2.27)

Из 2.2.27 следует, что собственные движения системы возникают при любом входном воздействии (сигнале). Нахождение обратного преобразования Лапласа в общем случае сводится к нахождению вычетов с помощью теории || комплексного переменного от дробно рациональной функции

(2.2.28)

Методы нахождения обратного преобразования Лапласа 2.2.10 изложены в разделе 2.1. В задаче определения обычно полагают, что все начальные условия являются нулевыми, и собственные движения системы затухают с течением времени.

Поэтому

(2.2.29)

С помощью 2.2.11 анализируют быстродействие измерительной системы при измерении параметров быстропротекающих процессов.

2.3. Преобразование и интеграл Фурье.

Преобразование Фурье являются частным случаем преобразования Лапласа. Оно получается из преобразования Лапласа, если положить . Таким образом, получаем выражение, определяющее преобразование Фурье в виде

(2.3.1)

При использовании преобразования Фурье на функцию накладываются более жёсткие ограничения, чем при использовании преобразования Лапласа. Если эти ограничения учтены, то на это преобразование распространяются все свойства и таблицы, составленные для преобразования Лапласа. В них необходимо только заменить величину p на iω.

В отличие от преобразования Лапласа преобразование Фурье позволяет дать наглядное физическое толкование процессу определения изображения и его оригинала. Для того чтобы пояснить это свойство преобразования Фурье, рассмотрим некоторые свойства рядов Фурье и интеграл Фурье.

Пусть задана какая-либо периодическая функция f(t) с периодом Т, удовлетворяющая обычным условиям, необходимым для разложения в ряд Фурье:

, (2.3.2)

Где - частота. Коэффициенты этого разложения определяются формулами:

Выражение (2.3.2) можно записать и так:

(2.3.4)

Приложение 1

,

,

.

Рассмотрим общий член ряда Фурье:

.

Воспользуемся формулами, связывающими тригонометрические функции с гиперболическими:

,

,

где

.

Тогда, подставив эти значения и в общий член ряда Фурье, получим:

.

Собрав все члены, содержащие , находим:

.

Обозначим:

.

Тогда

.

Итак, разложение периодической функции f(t) в ряд Фурье может быть записано в комплексной форме:

. (2.3.5)

Коэффициенты ряда определяются формулой

Действительно,

Зная , легко подсчитать амплитуду и фазу колебания для любого k. Величина k может принимать только целочисленные значения.

Спектром называется график, на котором для каждого целочисленного значения k отложено значение .

Поэтому ряд Фурье позволяет представить периодическую функцию в виде дискретного спектра. Если функция непериодическая и если она задана на некотором конечном интервале времени (и не имеет значения, как она ведет себя вне этого интервала), то можно принять этот интервал за периодТ и разложить ее в ряд Фурье.

При ряд переходит в интеграл Фурье

Коэффициенты определяются путем перехода к пределу в общем выражении для и :

Интеграл Фурье можно записать так:

,

где

Откладывая и по оси ординат, а по оси абсцисс, получим непрерывные кривые – непрерывный спектр непериодической функции.

Запишем интеграл Фурье в более компактной комплексной форме. Заметим, что

=

Обозначим , тогда

,

где

Обозначим , тогда

Итак, непериодическая функция (удовлетворяющая не оговариваемым здесь ограничениям) может быть представлена в виде интеграла Фурье

где

Интеграл и представляет собой преобразование Фурье функции . Нижний предел может быть заменен нулем, если при преобразовании Фурье, так же как и при преобразовании Лапласа, рассматриваются только те функции, которые равны нулю при . Функцию можно назвать комплексным спектром функции .