2.2. Применение преобразования Лапласа для …. Дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение с правой частью:

a_{0 +}a₁ +a₂ +…+a_nx(t)=f(t) (2.2.9)

Умножим левую и правую части уравнения на и проинтегрируем его в пределах от 0 до ∞:

или

Теперь это уравнение записать в виде

Заменим теперь по приведенным выше формулам изображения производных через изображения первообразной функции и соответствующие начальные условия:

Если теперь все выражения, содержащие начальные условия, перенести в правую часть, а в левой части вынести затем за скобки, то получим:

Здесь R(p) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия, и является многочленом по р с коэффициентами, зависящими от начальных условий.

Если привести в R(p) подобные члены, получим многочлен по р

Коэффициенты которого зависят от начальных условий и равны

(2.2.12)

Если все начальные условия нулевые:

то и R(p) 0

Многочлен в скобках в левой части уравнения (П2) может быть получен непосредственно из рассматриваемого уравнения (П1), если производную от x порядка m вместо обычного обозначения обозначить . Тогда уравнение (П1) можно переписать так:

или, вынося за скобки х,

D(p)x=f(t)

где

Уравнение D(p)=0, если рассматривать р как обычное переменное, называется характеристическим.

Уравнение (П2) можно теперь записать так:

или

Дальнейшая задача заключается в определении х(t) по найденному изображению этой функции.

Слагаемое определяет движение системы под действием возмущения f(t) при нулевых начальных условиях, а слагаемое - движения системы, обусловленные тем, что начальные условия отличны от нулевых.

Пример 1. Найти изображение интеграла уравнения

,

Если начальные условия при t=0 равны ,

Умножая обе части уравнения на и интегрируя в пределах от 0 до ∞, получаем:

Выполняя преобразования, найдем:

Или

Решая это уравнение относительно , получим:

где

Далее надо перейти от полученного изображения к оригиналу. Чтобы в общем случае изучить прием, используемый для этой цели, вернемся к уравнению (П5), определяющему изображение искомой функции x(t):

И положим f(t) . Тогда

Найдем функцию x(t), для которой

С этой целью разложим правую часть равенства на простые дроби (Рассматривается только случай, когда нет кратных корней).

Тогда (2.2.14)

Где -корни характеристического уравнения D(p)=0;

– коэффициенты (числители) простых дробей.

Выведем формулы для определения всех А. Для этого умножим правую и левую части уравнения на , - где любой из

Корней уравнения D(p)=0:

A1+ A2+…..+ Aк-1 + Aк + …. +

Положим в полученном уравнении Р = Рк. В левой части отлично от нуля только слагаемое Аn. В правой части дробь при Р = Рк превращается в неопределенность вида . Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим , откуда уравнение для определения любого коэффициента Ак получаем в виде

Где

Подставляя в (П.6)эти значения Ак, находим выражение для L[x(t)]:

L[x(t)]= ,

В каждом слагаемом коэффициент Выше, в таблице П.1, было приведено выражение оригинала для Используя это выражение ,находим:

Следовательно,

Таким образом , интеграл уравнения (П.1) при f(t)=0 и при отличных от нулевых начальных условиях равен

Для нахождения этого интеграла необходимо:

1)определить D(P) – левую часть характеристического уравнения ;

2)найти корни этого уравнения;

3)определить коэффициенты многочлена R(P), вычислив их по формулам(П.4);

4)найти производную D’(P)$

5)подставить последовательно P1, P2,…,Pn в D’(P) и в R(P) и найти значения

(где к=1,2,3,4,…,п);

6)составить сумму (П.8).

Если среди корней имеются комплексные сопряженные:

То P= , Pк+1= ,

Запишем комплексные числа в векторной форме:

Где , ,

Тогда сопряженное комплексное число

=А

И среди слагаемых в

Будут содержаться слагаемые

Воспользовавшись тождеством Эйлера

Получим : =cos(

Следовательно,

[ ]=2A

Итак, при наличии у характеристического уравнения комплексных корней

Где r- число действительных корней характеристического уравнения, s- число пар сопряженных комплексных корней характеристического уравнения,

,

Pк- действительный корень характеристического уравнения, соответственно действительная и мнимая части комплексных корней характеристического уравнения , соответственно действительная и мнимая части выражения в случае, когда Рк является комплексным корнем.

Описанный прием построения интеграла дифференциального уравнения позволяет с самого начала учесть начальные условия и упрощает определение произвольных постоянных , амплитуд и фаз отдельных гармоник.

Пример 2. Дано дифференциальное уравнение

+6x(t)=0

И начальные условия при t=0:

X(0)=5,

Характеристическое уравнение

Имеет корниP1=-1, P2=-2, P3=-3.

Подсчитываем коэффициенты полинома

Таким образом, решение (5.1) будет иметь вид: