2. Колебания

Колебание какой-либо величины называется гармоническим, если она меняется со временем по закону синуса или косинуса.

Если материальная точка гармонически колеблется вдоль оси x, то уравнение гармонических колебаний координаты частицы имеет вид:

, (1)

где х – смещение точки от положения равновесия по оси x;

А – амплитуда;

 циклическая частота;

 начальная фаза колебаний.

Проекции скорости и ускорения а_х точки на ось х меняются по гармоническому закону:

; (2)

. (3)

Следует отметить, что точка над любой величиной означает производную этой величины по времени.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

. (4)

Простейшими примерами систем, колеблющихся по гармоническому закону, являются гармонические осцилляторы. В механике такими колебательными системами являются пружинный, физический и математический маятники. Собственная частота колебаний маятника определяется по формулам:  для пружинного с массой m и коэффициентом упругости k;  для физического с массой m, моментом инерции I и расстоянием от центра инерции до оси вращения ;  для математического с массой m и длиной нити , где g – ускорение свободного падения. Период колебаний маятника связан с собственной частотой и определяется по формуле:

. (5)

При сложении гармонических колебаний одного направления удобно применять способ, называемый методом векторных диаграмм. Если частоты складываемых колебаний одинаковые, то результирующее смещение определяется уравнением:

(6)

Д алее используем метод векторных диаграмм (рис. 1). Представим оба колебания с помощью векторов и вращающихся с частотой против хода часовой стрелки. Результирующий вектор строим по правилам сложения векторов:

 (7)

т. е. вектор описывает результирующее колебание. Вектор вращается с той же частотой , что и векторы и

Амплитуда результирующего колебания определяется геометрически с использованием теоремы косинусов:

(8)

Начальная фаза результирующего колебания определяется геометрически (см. рис. 1) через отношение катетов треугольника EOF:

. (9)

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с разными значениями частоты могут получаться сложные движения с разными траекториями.

О днако, если частоты (периоды) колебаний соотносятся между собой как целые числа (т. е. кратны), то траектории будут замкнутыми и называются фигурами Лиссажу. Вид фигуры Лиссажу зависит от соотношения между периодами, начальными фазами и амплитудами обоих колебаний.

Фигура Лиссажу, получаемая при сложении колебаний, у которых значения частоты отличаются в два раза ( ), представлена на рис. 2.

Электромагнитные колебания возникают в колебательных контурах.

В идеальном колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью L и конденсатор ем-костью С (рис. 3), возбуждаются гармонические электромагнитные колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его пластинам заряды . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, то он начинает разряжаться и в контуре потечет возрастающий со временем ток. В результате явления самоиндукции сила тока, достигнув максимального значения, начинает убывать. Конденсатор перезаряжается. Такой процесс повторяется периодически.

Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний имеет вид [1, 2]:

(10)

где  собственная частота колебаний, ;

q – заряд конденсатора.

Р еальный колебательный контур – это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью C и сопротивление R, в которой могут возбуждаться затухающие электромагнитные колебания (рис. 4).

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при условии, что имеет вид [1, 2]:

(11)

где   коэффициент затухания контура, .

Решением выражения (10) является уравнение затухающих колебаний:

, (12)

где q₀ – максимальный заряд конденсатора;

 условная частота затухающих колебаний, .

Качество колебательного контура характеризуют его добротностью Q. При слабом затухании ( << ) добротность определяется по формуле:

. (13)

Быстроту затухания колебаний характеризует логарифмический декремент затухания:

(14)

где A(t) и A(t + T) – амплитуда колебаний в моменты времени t и t + T соот-ветственно;

T – условный период затухающих колебаний,

Для условия слабого затухания добротность контура связана с его логарифмическим декрементом соотношением:

. (15)

К ак видно из формул (12)  (15), чем больше активное сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания, тем больше коэффициент затухания  и логарифмический декремент, а добротность меньше.

В контуре, в который включен источник переменной ЭДС (рис. 5), могут установиться вынужденные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид [1, 2]:

(16)

где  максимальное значение ЭДС;

  частота вынужденных колебаний.

В таком колебательном контуре при определенных условиях может наблюдаться явление резонанса.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к резонансной частоте называют электрическим резонансом.

Резонансными кривыми называют зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты.

Резонансные кривые для различных коэффициентов затухания ( приведены на рис. 6.

Ч астота вынуждающей ЭДС, при которой амплитуда колебаний максимальна, называется ре-зонансной частотой и определяется по формуле:

(17)

В условиях слабого затухания

(18)