Послідовність розв’язування задачі

1. Креслимо схему балки в масштабі та вказуємо на ній числові дані довжин та навантаження.

2. Відкидаємо опори, замінюємо їх опорними реакціями, які визначаємо та перевіряємо, використавши рівняння статики. (Для консольних балок цей пункт можна не виконувати).

3. Складаємо вирази для Q(x) та М(х) на ділянках балки, підраховуємо значення цих величин у характерних точках і будуємо епюри Q(x) та М(х). Перевіряємо епюри відповідно до пункту 3 теоретичної довідки.

4. З епюри М(х) знаходимо M_max та, використавши умову міцності, підбираємо розміри поперечних перерізів.

5. Порівнюємо матеріалоємність знайдених перерізів балок і робимо висновки щодо їх економічності.

Приклад 4.1

Для балки на двох опорах, розміри якої і навантаження на яку показані на рис. 12, а потрібно: визначити та перевірити опорні реакції; записати вирази для Q(x) та М(х) на ділянках балки, побудувати та перевірити їх епюри; з умови міцності підібрати круглий, прямокутний ( ), кільцевий та двотавровий перерізи балки, якщо = 100 МПа = 10 кН/см²; порівняти матеріалоємність перерізів та зробити висновки.

Розв’язування

1. Креслимо схему у масштабі та наносимо числові дані (рис. 12, а).

2. Відкидаємо опори в точках А і В та замінюємо їх опорними реакціями R_A, R_B, які попередньо направимо вгору. Горизонтальна реакція Н_А при вертикальному навантаженні дорівнює нулеві.

Для визначення реакцій складемо рівняння статики:

.

Звідси

R_A = 10 кН;

. .

Звідси

R_B = -20 кН.

Показуємо на рисунку числові значення реакцій. Знак «-» у виразі R_B вказує, що попередньо вибраний напрямок реакції є невірним і його слід змінити на протилежний.

Перевіряємо реакції:

.

.

Реакції визначені вірно.

Рис. 12

3. Складаємо вирази для Q(x) і М(х) на ділянках балки:

Ділянка СА :

(лінійна функція);

кН;

кН;

(парабола);

;

кНм.

Знаходимо , прирівнявши вираз Q(x) до нуля ( ),

,

звідси

.

Тоді

кНм.

Ділянка ВА :

кН = const,

М(х)= М - R_{B ,} ( лінійна функція)

кНм;

кНм.

За цими даними будуємо епюри Q(x) і М(х) (рис. 12, б, в )

Перевіряємо епюри за правилами пункту 3 теоретичної довідки:

а) у точці С прикладена сила F=30 кН і в цій точці епюра Q(x) має розрив на 30 кН; аналогічно виконують перевірки в точці А (розрив на 10 кН) і в точці В (розрив на 20 кН);

б) у точці В прикладений момент М = 60 кНм; у цій точці епюра М(х) має розрив на 60 кНм; в інших точках балки моменти не прикладені, тому розривів нема;

в) на ділянці СА є точка (х=1,5 м), в якій Q(x) =0. У цій точці М(х) =M_max.

Тобто всі перевірки виконуються.

4. З епюри М(х) знаходимо найбільше за абсолютною величиною значення моменту

М_max = M_B = 60 кНм = 6000 кНсм.

Момент опору перерізів

.

Підбираємо розміри перерізів.

Для круглого перерізу . Отже , звідси см.

Приймаємо d = 19 см.

Площа поперечного перерізу см² .

Для прямокутного перерізу . Для заданого відношення , . Тоді . Отже . Звідси см.

Приймаємо b = 10 см; h = 2b = 20 см.

Площа поперечного перерізу A_пр = bh = 200 cм² .

Для кільцевого перерізу . Для заданого осьовий момент опору . Отже ; звідси см.

Приймаємо D = 26 см. Тоді d = 0,9 D = cм.

Площа поперечного перерізу

см².

Для двотаврового перерізу за обчисленим значенням см³ з таблиці сортаменту визначаємо номер двотавра. Підходить двотавр № 36, для якого см³. Площа поперечного перерізу цього двотавра А_дв = 53,8 см².

5. Порівнюємо матеріалоємність балок з вибраними формами поперечних перерізів. Знаходимо відношення площ перерізів , тобто А_кр=4,22·А_дв. Аналогічно знаходимо А_пр=3,78·А_дв; А_кіл=1,87·А_дв.

Висновок: з усіх розглянутих форм перерізів найменш матеріалоємним є двотавровий поперечний переріз.