7. Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки параметра θ за θ* називають ймовірність

з якою виконується нерівність

де - точність оцінки

t – аргумент функції Лапласа

σ – СКВ

n – об’єм вибірки

Інтервал називають довірчим, якщо він покриває невідомий параметр θ із заданою надійністю γ

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу обчислюють за формулою:

Можна показати, що

Питання для самопідготовки

1. Генеральна та вибіркова сукупності. Поняття про теоретичний та емпіричний розподіли. Варіаційний ряд.

2. Статистичний розподіл вибірки. Полігон та гістограма.

3. Емпірична функція розподілу та її властивості.

5. Числові характеристики вибірки.

6. Точкові статистичні оцінки та їх властивості.

7. Генеральні середня, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

8. Інтервальні оцінки.

9. Довірчі інтервали для математичного сподівання нормального розподілу.

Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

Тема 13. Елементи теорії регресії

Тема 14. Елементи теорії кореляції Лекція 9. Статистична перевірка статистичних гіпотез. Елементи теорії регресії та кореляції

Мета: сформувати знання з основ статистичної перевірки статистичних гіпотез, розглянути деякі критерії перевірки нульової гіпотези; сформувати знання з основ теорії регресійного та кореляційного аналізу.

План лекції:

1. Поняття статистичної гіпотези. Нульова і конкуруюча гіпотези, помилки першого та другого родів. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези

2. Функціональна, статистична та кореляційна залежності

3. Вибірковий коефіцієнт та вибіркове рівняння регресії

4. Лінійна та нелінійна регресія

Рекомендована література: [1] ст. 281-287, 288-293, 329-333, [4] ст. 197-205, [6] ст. 368-371

1. Поняття статистичної гіпотези. Нульова і конкуруюча гіпотези, помилки першого та другого родів.

Одними з основних задач математичної статистики є задачі визначення закону розподілу випадкової величини або визначення невідомих параметрів відомого закону розподілу.

Оскільки закон розподілу або параметри закону розподілу невідомі, то можна висунути певні припущення щодо виду закону або величини параметрів.

Статистичною називають гіпотезу щодо виду невідомого закону розподілу, або про невідомі параметри відомого закону розподілу.

Оскільки можна висунути гіпотезу про закон розподілу або про параметри розподілу, то можна висунути і гіпотезу, що буде суперечити висунутій.

Якщо висунута гіпотеза буде відкинутою, то суперечна їй гіпотеза отримує право на існування.

Такі гіпотези отримали назви:

Нульова (основна) гіпотеза – гіпотеза, що висунули і будуть перевіряти на можливість її існування. Позначається Н₀

Конкуруюча (альтернативна) гіпотеза – гіпотеза, що суперечить висунутій основній гіпотезі. Позначають Н₁.

Нульова гіпотеза може бути 2 видів:

1. Проста гіпотеза містить тільки одне припущення щодо закону розподілу або параметрів розподілу

2. Складна гіпотеза містить декілька припущень

Оскільки висунута гіпотеза може бути правильною або не правильною, виникає необхідність її перевірити.

Перевіряють статистичні гіпотези статистичними методами (тобто використовуючи неодноразові випробування).

В результаті перевірки висунута гіпотеза може бути або прийнятою або відкинутою. У зв’язку з прийняттям рішення про прийняття або відкинення висунутої гіпотези можуть виникнути помилки 2 родів:

Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинуто правильну гіпотезу

Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнято невірну гіпотезу

Для того, щоб за результатами випробувань прийняти або відкинути нульову гіпотезу, її потрібно порівняти з яким-небудь еталоном, що відповідав би обраному в якості гіпотези закону розподілу або параметру розподілу.

В якості такого еталону виступає певна величина, що називають статистичним критерієм.

Статистичним критерієм називають випадкову величину К, що використовується для перевірки нульової гіпотези

Статистичний критерій – величина отримана теоретично.

Спостереженим значенням К_сп називають значення критерію, що обчислений за даними вибірок (емпірично)

Після того, як обраний статистичний критерій для перевірки нульової гіпотези, множина всіх його можливих значень розбивається на дві підмножини:

Одна з них містить значення критерію, при яких нульова гіпотеза приймається, інша – значення критерію, при яких нульова гіпотеза відкидається

Критичною областю називають сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають

Областю прийняття гіпотези називають сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу приймають.

Критичну область від області прийняття гіпотези відділяють точки, що отримали назву критичних k_кр

Існують 3 види критичних областей:

1. Правостороння критична область задається нерівністю К>k_кр, де k_кр>0

2. Лівостороння критична область задається нерівністю К<k_кр, де k_кр<0

3. Двостороння критична область задається нерівностями К<k₁ , К>k₂, де k₂> k₁