1.1. Аналитическое представление бф.
1.1.1. Дизъюнктивная совершенная нормальная форма.
Введем в рассмотрение характеристическую функцию единицы F(Xn-1,…Xi,…X1,X0), которая равна 1 на наборе значений переменных (Xn-1,…Xi,…X1,X0), обозначенном и равна 0 на всех остальных наборах.
Наборы значений переменных удобно задавать по номерам, которые получаются при рассмотрении набора как двоичного числа.
Пример.
F2(X,Y,Z,W) – характеристическая функция единицы для набора значений переменных (X,Y,Z,W) с номером 2. (0010 = 2).
В таблице представлены функции F3 и F5 , которые принимают значение 1 на наборах №3 и 5, соответственно (отсчет начинается с набора №0).
X |
Y |
Z |
F3 |
F5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Теорема 1.
Любая бф не равная константе 0 может быть представлена в виде
(Xn-1,…Xi,…X1,X0)
=
F
F…
Fi
=
Fi,
при условии,
что iM1*,
где M1*
-
множество всех номеров, на которых
F(Xn-1,…Xi,…X1,X0)
равна 1.
Доказательство:
Возьмем произвольный набор с номером
Пусть на этом наборе F(Xn-1,…X1,X0) = 1.
Тогда в правой части равенства найдется F(Xn-1, …Xi,…X1,X0) и правая часть будет иметь вид 1 тоесть значения левой и правой части совпадают.
Если на наборе с номером мы имеем F(Xn-1, …Xi,…X1,X0) = 0, то справа не будет F, и правая часть будет иметь вид 0 0 … 0, то есть будет равна 0.
Таким образом, значения левой и правой части всегда совпадают.
Следствие.
Любая бф не равная константе 0 может быть представлена в виде
F(Xn-1,…Xi,…X1,X0)
=
Fi
, где
-
знак операции «сумма по модулю два».
X |
Y |
|
|
Результаты операций «дизъюнкции» и «суммы по модулю два» совпадают, если X и Y одновременно не равны 1. |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
F F Fi = F F Fi , так как среди характеристических функций единицы Fi только одна принимает значение 1, а остальные равны нулю.
Замечание: Операция «сумма по модулю два» не является операцией алгебры Буля, но часто используется в булевых алгебрах с расширенным набором операций.
Рассмотрим процедуру получения характеристических функций единицы.
Если рассматривать как степень булевой переменной X, то
Т. е. X=1 только в том случае, если значение Х равно значению
Докажем это с помощью таблицы истинности.
-
Х
X
0
0
0
1
1
0
1
1
Отсюда следует, что конъюнкция степеней булевых переменных Xn-1,…Xi,…X1, X0 равна 1, если для всех Х значения степеней равны значениям переменных. Поэтому конъюнкция переменных Xn-1, … X1, X0 со степенями, соответственно, n является характеристической функцией единицы для набора значений переменных n
Рассмотрим примеры характеристических функций.
Характеристическая функция единицы для набора №3 функции от трех переменных
F3(X,Y,Z)
= F011(X,Y,Z)=X0&Y1&Z1=
Характеристическая функция единицы для набора №10 функции от четырех переменных
F10(X,Y,Z,W)=F1010(X,Y,Z,W)=X1Y0Z1W0=
Зная как построить характеристические функции единицы, можно на основании теоремы 1 сформулировать правило получения аналитической записи любой бф не равной константе 0:
для всех наборов значений переменных, на которых бф равна 1, выписываем характеристические функции единицы и объединяем их знаками дизъюнкции.
Данное аналитическое представление называется дизъюнктивной совершенной нормальной формой (ДСНФ).
Рассмотрим примеры ДСНФ.
X |
Y |
F |
F
=
X0Y1
X1Y0
X1Y1=
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Основываясь на следствии из теоремы 1, в дснф можно вместо дизъюнкции использовать сумму по модулю два.
В результате получается формула, называемая полиномиальная совершенная нормальная форма (ПСНФ).
X |
Y |
|
F
=
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
