МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Вычислительные системы и сети»

Б.В. Желенков, В.Г. Першеев

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Москва - 2008

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Вычислительные системы и сети»

Б.В. Желенков, В.Г. Першеев

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Рекомендовано редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

для студентов I курса специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и направления

«Информатика и вычислительная техника»

по дисциплине

«Дискретная математика»

Москва - 2008

УДК 681.3

Ж 51

Желенков Б.В., Першеев В.Г. Дискретная математика: Учебное пособие.- М.: МИИТ, 2008. – 94 с.

В учебном пособии рассматриваются теория булевых функций, способы их аналитического представления и методы минимизации и теория построения комбинационных схем.

Рецензенты:

Профессор кафедры «Проектирование ВК» РГТУ им. Циолковского, к.т.н., В.В.Шилов

Профессор кафедры «Управление и информатика в технических системах» МИИТа, д.т.н. В.Г.Сидоренко

© Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2008

Св. план 2008г., поз.86

Подписано к печати Тираж 100 экз. Усл.-печ. л. – 5,8

Формат 60 х 84 1/16 Заказ –

127994, Москва, ул. Образцова, 15

Типография МИИТа

Содержание

Введение.	4
1. Булевы функции (БФ).	5
1.1. Аналитическое представление БФ.	6
1.1.1. Дизъюнктивная совершенная нормальная форма.	6
1.1.2. Конъюнктивная совершенная нормальная форма.	10
1.2. Минимизация БФ.	12
1.2.1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).	12
1.2.2. Пути решения задачи упрощения ДНФ БФ.	16
1.2.3. Построение СДНФ по ДСНФ.	18
1.2.4. Построение СДНФ по произвольной ДНФ.	23
1.2.5. Получение ТДНФ с помощью таблиц покрытий.	24
1.2.6. Недоопределенные БФ и способы их задания.	28
1.2.7. Построение простых импликант недоопределенных БФ методом проб.	30
1.2.8. Построение ТДНФ недоопределенных БФ.	37
1.2.9. Карты Карно.	38
2. Логические схемы (ЛС).	46
2.1.Основные понятия.	46
2.2. Использование скобочных преобразований ДНФ при синтезе КС из элементов типа И, ИЛИ, НЕ.	50
2.3. Синтез КС из элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ-НЕ.	55
2.3.1. КС часто используемых БФ.	55
2.3.2. КС для произвольных БФ.	66
2.4. Разделительный метод синтеза схем минимальной глубины из элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ-НЕ.	69
2.4.1. Базовая концепция.	69
2.4.2. Алгоритм разделения ТДНФ на К частей с минимизацией максимального веса.	74
2.4.3. Синтез КС из элементов И-НЕ.	76
2.4.4. Синтез КС из элементов ИЛИ-НЕ.	80
2.4.5. Синтез КС из элементов И-ИЛИ-НЕ.	84
2.4.6. Синтез КС из набора элементов.	90
Литература	94

Введение

Основой теории цифровых устройств обработки информации является дискретная математика и, в частности, такие ее разделы как:

• теория графов;

• теория логических функций (в том числе булевых);

• теория логических схем и автоматов;

• теория алгоритмов;

• теория кодирования.

Изучение этого круга вопросов было начато в курсе «Основы информатики».

В рамках данного учебного пособия рассматриваются:

- теория булевых функций;

- теория комбинационных схем.

.

1. Булевы функции (бф).

Пусть (X_n-1,…X_i,…X₁,X₀) – набор двоичных переменных (X_i=0;1). Множество всех наборов значений этих переменных обозначим Е_n. Это 2ⁿ наборов.

	Xn-1	…	Xi	…	X1	X0
	0	…	0	…	0	0
	0	…	0	…	0	1
2n	0	…	0	…	1	0
	…	…	…	…	…	…
	1	…	1	…	1	0
	1	1	1	1	1	1

Функция F(X_n-1,…X_i,…X₁,X₀) называется булевой, если она определена на Е_n и принимает значения 0 или 1.

Множество наборов, на которых F=1, обозначается М₁.

Множество наборов, на которых F=0, обозначается М₀.

Известно, что формула булевой алгебры это формула, где в качестве операций над двоичными переменными используются инверсия, конъюнкция и дизъюнкция.

Известно, что булева формула задает БФ, которая всегда может быть представлена таблицей.

Вопросы теории БФ, которые мы будем рассматривать, таковы:

• как представить любую БФ в аналитическом виде;

• как преобразовывать аналитические представления с целью получения эквивалентных формул наименьшей сложности.