Платежная матрица

Стратегия	Состояние природы
	П1	П2	…	Пj	…	Пn
А1	11	12	…	1j	…	1n
А2	21	22	…	2j	…	2n
…	…	…	…	…	…	…
Аi	i1	i2	…	ij	…	in
…	…	…	…	…	…	…
Am	m1	m2	…	mj	…	mn

Требуется найти такое решение, то есть такую стратегию А_i, которая предпочтительней по сравнению с остальными альтернативами.

Часто для решения подобных задач используют матрицу рисков (сожалений) - ||r_ij||, которая может дать более наглядную картину для вариантов действий. Риск r_ij представляет собой разность между максимальным выигрышем при определенном состоянии природы П_j и выигрышем, полученным при использовании стратегии A_i:

r_ij = _j - _j, (3.1)

где

_j = max _ij. (3.2)

Выбор варианта решения начинают с сопоставления стратегий, выявляя, не имеется ли стратегий лучших при любых состояниях природы – доминирующих.

Выбор решения тривиален, если одна стратегия доминирует над остальными. Если же доминирующие стратегии отсутствуют, то в зависимости от состояния природы (которое неизвестно) эффективны и различные варианты решений. В подобных случаях для принятия решения целесообразно воспользоваться различными критериями оптимальности.

1. Математическое ожидание выигрыша. Используется тогда, когда имеется информация о вероятностях состояния природы P_j, причем . Критерием в этом случае выступает математическое ожидание выигрыша (или риска), то есть выбирается решение, при котором

(3.3)

или

(3.4)

2. Критерий Лапласа. Применяется в случаях, когда вероятности состояния природы неизвестны и их нельзя получить с достаточной точностью, но при этом предполагается, что состояние природы равновероятно, т.е.

Р₁=P₂=…=P_n. (3.5)

3. Критерий Байеса. Этот метод основан на последовательном пересчете вероятностей состояния природы (апостериорных вероятностей) в зависимости от прошлых (или принятых ранее) состояний (априорных вероятностей).

4. Максиминный критерий Вальда. Для каждой стратегии находят минимальное значение выигрыша, соответствующее наихудшему состоянию природы, т.е. min _ij. Далее из всех возможных стратегий выбирается та, для которой минимальный выигрыш максимален:

(3.6)

Критерий Вальда пессимистичен, так как он ориентируется на наихудшее состояние природы, то есть по существу природа рассматривается как активно противоборствующий противник.

5. Минимаксный критерий Сэвиджа – также вариант пессимистического подхода. В этом случае находят минимальное значение риска при самом неблагоприятном состоянии природы

. (3.7)

С этой целью для каждой стратегии (построчно) по матрице рисков находят максимальное значение риска, а затем выбирают из них минимальное.

6. Максимаксный критерий – подход азартного игрока, самый оптимистичный критерий. При этом максимизируется максимум доходов и игнорируются возможные потери. Применение данного критерия часто ограничено из-за повышенного риска (особенно при принятия финансовых решений).

7. Критерий Гурвица является комбинированным, учитывающим как оптимистический, так и пессимистический подходы. При использовании этого критерия состояние природы берется не самым худшим и не самым лучшим, а некоторым промежуточным. При этом за оптимальную принимается стратегия, при которой

(3.8)

где k – коэффициент, характеризующий долю пессимизма и оптимизма (изменяется от 0 до 1).

Коэффициент k выбирается по объективным соображениям (часто экспертно). При этом чем сложнее ситуация и необходимо застраховаться, тем ближе k к единице. При k=1 критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда.

Если рассматривать область применения вышеназванных критериев, то критерии Вальда и Сэвиджа используют при принятии разовых и ответственных решений, а Гурвица, Лапласа и Байеса - при менее ответственных, когда ситуация повторяется многократно (например, в оперативном планировании).

Поясним использование различных критериев принятия решения в условиях неопределенности внешней среды на примере.

Ситуация. Компания работает в условиях совершенной конкуренции. В будущем периоде невозможно однозначно определить, на каком уровне установится цена на производимый фирмой товар. Эксперты дают следующий прогноз цен: 14 руб./ед. с вероятностью 0,2; 15,5 руб./ед. с вероятностью 0,4; 18 руб./ед. – 0,4. Полные затраты компании можно описать следующей функциональной зависимостью:

З = 117,0 + 10Q + 0,0028Q²

Необходимо определить оптимальный объем производства для компании по данным платежной матрицы.

Решение. В соответствии с теорией предельной полезности оптимальный объем производства достигается, если предельные издержки равны предельному доходу, то есть прирост затрат при выпуске дополнительной единицы товара будет равен его цене. Таким образом, для каждого вероятностного уровня цены (14; 15,5 и 18 руб./ед.) необходимо найти оптимальный объем. Так как затраты представлены функциональной зависимостью, то прирост затрат будет определяться производной соответствующей функции

З’ = 10 + 0,0056Q .

Пример расчета показателей платежной матрицы:

П₁₁ = В₁₁(714) – З₁₁(714),

где П₁₁ – прибыль, получаемая компанией при объеме производства 714 ед. и цене на рынке 14 руб. за ед.;

В₁₁(714) – выручка компании при объеме производства 714 ед. и цене 14 руб. (В₁₁(714) = 14 * 714 = 9996 руб.);

З₁₁(714) – затраты при производстве 714 ед. товара (З₁₁(714) = 117 + 10*714 + 0,0028*(714)² = 8684,5 руб.);

П₁₁ = 9996 – 8684,5 = 1311,5 руб.

Аналогично рассчитываются остальные показатели платежной матрицы (табл. 2.1).

Приравнивая функцию производной к ценам, находим оптимальные объемы для каждой:

для цены 14 руб./ед. – 714 (ед.);

(10 + 0,0056Q = 14)

(Q_опт = 714)

для цены 15,5 руб./ед. – 982 (ед.);

для цены 18 руб./ед. – 1428 (ед.).

Переходим к составлению платежной матрицы. В качестве стратегий будут выступать оптимальные объемы производства, а состоянием природы – различные уровни цен. В платежной матрице будем рассчитывать прибыль (табл. 3.2).

Таблица 3.2.