3. Некоторые дискретные распределения

3.1 Биномиальное распределение

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_iвычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq, коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npq В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметромλ=np.

Пример 3.1

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.

Решение Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём поформуле Бернулли.

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1 Математическое ожидание: М(Х) = Σ х_ip_i = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216 = 1,8 Или: М (Х) = np = 3 · 0,6 = 1,8 Дисперсия: D(X) = Σ х²_ip_i – (М(Х))² = 0² · 0,064 + 1² · 0,288 + 2² · 0,432 + 3² · 0,216 – 1,8² = 0,72 Или: D (X) = npq = 3 · 0,6 · 0,4 = 0,72 Среднее квадратическое отклонение: σ(Х) = √D(X) ≈ 0,85 Коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq = (0,4 - 0,6)/√3·0,6·0,4 ≈ -0,2357, Коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq = (1 - 6·0,6·0,4)/(3·0,6·0,4) ≈ -0,61111 Свернуть

3.2 Геометрическое рапределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величинв может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p²

Пример 3.2

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X - число возможных выстрелов до первого попадания. а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

Решение а) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4,..., ∞ P(1) = p = 0,6 P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(3) = q²p = 0,4² · 0,6 = 0,096 ... P(k) = q^k-1p = 0,4^k-1 · 0,6 ... Ряд распределения: x_i|  1  |   2   |    3   | ... |      k        | ... ----------------------------------------- p_i| 0,6 | 0,24|0,096| ... |0,4^k-1 · 0,6| ... Контроль: Σp_i = 0,6/(1-0,4) = 1 (сумма геометрической прогрессии) Функция распределения - это вероятность того, что с.в. Х примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение х. Значения функции распределения определяем суммированием вероятностей. Если x ≤ 1, то F(x) = 0 Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6 Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84 Если 3 < x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ... Если k-1 < x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4^k-1)/(1-0,4) = 1-0,4^k-1 (частичная сумма геометрической прогрессии) ...

M(X) = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667 D(x) = q/p² = 0,4/0,36 ≈ 1,111 σ(Х) = √D(X) ≈ 1,054 б) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3. P(1) = p = 0,6 P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(3) = q²p + q³ = 0,4² · 0,6 + 0,4³ = 0,16 Ряд распределения: x_i|  1  |   2   |   3    ------------------- p_i| 0,6 | 0,24|0,16 Контроль: Σp_i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1 Функция распределения. Если x ≤ 1, то F(x) = 0 Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6 Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84 Если x > 3, то F(x) = 0,84 + 0,16 = 1 M(X) = 1 · 0,6 + 2 · 0,24 + 3 · 0,16 = 1,56 D(X) = 1² · 0,6 + 2² · 0,24 + 3² · 0,16 - 1,56² = 0,5664 σ(Х) ≈ 0,752 Свернуть