5. Статистика Бозе-Эйнштейна

Предположим, что r неразличимых (одинаковых) частиц распределяются по k ячейкам (r ≤ k). Сколькими способами их можно распределить?

Пусть в какую-то определённую ячейку попало ровно m частиц. Подсчитаем количество вариантов, которыми оставшиеся r-m частиц могут быть распределены по k-1 оставшимся ячейкам.

Тогда вероятность того, что в определённую ячейку попало ровно m частиц, равна

Такое рапределение носит в физике название статистики Бозе-Эйнштейна, ей описывается поведение фотонов, атомных ядер и атомов, содержащих чётное количество частиц.

Пример 5.1

В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже зашли 4 человека. Сколько различных вариантов их выхода может быть? Различными считаются варианты, отличающиеся только количеством людей, выходящих на данном этаже.

Решение Варианты выхода из лифта могут быть разными, например, на втором этаже выйдет один человек, на четвертом - два, и один - на девятом. Или все четверо выйдут на пятом этаже. И так далее. Говоря абстрактным языком, 4 элемента распределяются по 8 ячейкам. C⁴_4+8-1=11!/[4!7!]=(8·9·10·11)/(1·2·3·4)=330 Свернуть

Пример 5.2

В условиях предыдущей задачи найдём количество вариантов, при которых на пятом, допустим, этаже, выйдут точно 2 человека.

Решение C^4-2_4-2+8-2=C²₈=8!/[2!6!]=28 Свернуть

Пример 5.3

На основе двух предыдущих задач найдём вероятность того, что из 4-х пассажиров, зашедших в лифт на 1-м этаже 9-этажного дома, на пятом этаже выйдут ровно 2 человека.

Решение

Свернуть

6. Число перестановок с повторениями

Имеется k групп элементов, по n_i элементов в каждой группе. Внутри каждой группы элементы одинаковы (неразличимы). Сколькими способами можно переставить эти n₁ + n₂ + ... + n_k элементов? Если бы элементы в группе не повторялись, то мы бы нашли общее количество всех элементов и вычислили бы факториал этого числа. Но для каждой группы каждые n_i! перестановок преобразуются в одну (элементы ведь неразличимы), и число перестановок уменьшается каждый раз в n_i! раз. В итоге получаем:

Пример 6.1

У девочки имеется 2 белых бусины, 3 синих и 1 красная. Сколькими способами их можно нанизать на нитку?

Решение Порядок расположения элементов важен, элементы повторяются. Используем число перестановок с повторениями. (2 + 3 + 1)!/2!3!1! = 6!/2·6 = 720/12 = 60 Свернуть

1. Классическая вероятность

В классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общему числу элементарных исходов n.

Пример 1.1

Некто, перетасовывая колоду из 36 карт, извлекает оттуда случайным образом одну карту. Какова вероятность того, что это будет туз?

Решение Тузов всего 4. Это количество благоприятных исходов. Всего карт 36 - это количество всех исходов испытания. Искомая вероятность равна 4/36 = 1/9 Свернуть

Пример 1.2

В конверте среди 25 карточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлечено 6 карточек. Какова вероятность, что среди них окажется нужная карточка?

Решение Извлечь 6 карточек из 25 можно C⁶₂₅ способами (см. число сочетаний). Это количество всех исходов. Подсчитаем количество благоприятных исходов. Если нужная карточка уже есть в наборе, то остальные пять карточек из 24 можно выбрать C⁵₂₄ способами.

Свернуть