Решение систем уравнений и неравенств Общие сведения о процедуре поиска решения
Рассмотрим, как в Excel численно решаются системы уравнений и неравенств вида
f1(x1 , x2 ,…, xn) = C1
f2(x1 , x2 ,…, xn) = C2 (5.2)
………………….….
fn(x1 , x2 ,…, xn) = Cn
g1(x1 , x2 ,…, xn) ≤ L1
g2(x1 , x2 ,…, xn) ≤ L2 (5.3)
…………………….
gk(x1 , x2 ,…, xn) ≤ Lk
Здесь x1 , x2 ,…, xn - искомые переменные; Сi – численные константы, i = 1, 2, …, n; fi(x1 , x2 ,…, xn) – функции, произвольного вида, в левой части системы уравнений (5.2), i = 1, 2, …, n; g2(x1 , x2 ,…, xn) - функции произвольного вида в левой части системы неравенств (5.3), i = 1, 2, …, k; Li - численные константы, i = 1, 2, …, k. Знаки неравенств, на самом деле, могут быть произвольными, так как умножением неравенства на -1 его можно изменить на противоположное.
Решение подобных систем в Excel выполняют с помощью средства Поиск решения. При этом выполняется ряд действий.
Вводятся на рабочий лист исходные данные и формулы.
В меню Сервис выбирается строка Поиск решения… .
В диалоговом окне Поиск решения:
указываются изменяемые ячейки, содержащие значения искомых переменных;
вводятся левые и правые части уравнений и ограничений;
устанавливаются значения параметров (если необходимо) процедуры поиска решения;
запускается процедура поиска решения на выполнение.
Пример выполнения процедуры поиск решения
Численное решение системы уравнений и неравенств вида (5.2)-(5.3) рассмотрим на примере решения следующей системы
х2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 1
3x – y + z = 0 (5.4)
2(x-1)2 - y2 + (z-1)2 = 0
x ≥ 1
y ≥ 2 (5.5)
z ≤ 0
Рассмотрим подробнее этапы выполнения процедуры поиска решения на указанном выше примере.
Оформление рабочего листа для примера (5.4)-(5.5) приведено на рисунке 5.5. На нём ячейки В6:В8 содержат начальное значение искомых переменных. В этих же ячейках будет получено решение системы (5.4)-(5.5).
Формулы левой части уравнений системы (5.4) в ячейках D6:D8 таковы:
=B6^2+(B7-2)^2+(B8+1)^2
=3*B6-B7+B8
=2*(B6-1)^2-B7^2+(B8-1)^2
В свою очередь формулы левой части неравенств (5.5) в ячейках D11:D13 имеют вид:
=B6
=B7
=B8
Вызываем диалоговое окно Поиск решения и в поле Изменяя ячейки: заносим ссылку на диапазон В6:В8 (смотри рис. 5.6).
Рис. 5.5. Фрагмент рабочего листа для решения системы (5.4)-(5.5)
Щёлкаем по кнопке Добавить и вызываем диалоговое окно Добавление ограничений (см. рис. 5.7). В левое окно Ссылка на ячейку: заносим ссылку на ячейку, содержащую формулу левой части уравнений (5.4). В среднем окне выбираем тип знака (в нашем случае =), а в правое окно ограничение заносим или константу или (как в нашем случае) ссылку на константу в правой части (5.4).
Рис. 5.6. Вид диалогового окна Поиск решения
Введя все ограничения типа равенств и неравенств, щёлкаем по кнопке ОК, окно Добавление ограничений будет закрыто и возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
Рис. 5.7. Вид диалогового окна Добавление ограничение
Кнопками Изменить и Удалить можно отредактировать введённые ограничения. Для этого ограничение необходимо предварительно выделить.
Если требуется, то изменяем установленные по умолчанию параметры процедуры. Для этого щёлкаем по кнопке Параметры. В появившемся окне Параметры поиска решения (см. рис. 5.8) устанавливаем значение требуемых параметров. В первую очередь это касается таких величин, как Предельное число итераций, Относительная погрешность, Линейная модель, Неотрицательные значения.
Наконец щёлкаем по кнопке Выполнить. На экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения (смотри рисунок 5.9), в котором сообщается о результатах численного решения.
Рис. 5.8. Вид диалогового окна Параметры поиска решения
Если решение не получено или решение не удовлетворяет, то его можно отменить, восстановить исходные значения и запустить процедуру поиска решения с новыми исходными значениями или параметрами.
Рис. 5.9. Вид окна Результаты поиска решения
Для нашего примера результаты поиска решения приведены на рисунке 5.10.
Рис. 5.10. Вид рабочего листа с результатами решения системы (2.4)-(2.5)