Графическое решение нелинейных уравнений и систем уравнений Графическое решение нелинейного уравнения

Будем решать уравнение вида

f(x) = g(x), (4.1)

при этом или f(x), или g(x), или обе функции – нелинейные. По­следовательность действий такова:

• исходное уравнение (4.1) преобразуется к виду f(x) - g(x) = 0;

• строится график функции F(x) = f(x) - g(x) в соответствии с алгоритмом, указанном в пункте «Построение графика непрерывной функции одной переменной».

• находится точка пересечения линии графика с осью абсцисс, которая и является ре­шением уравнения.

Заметим, что шаг по оси абсцисс (аргумент функции F(х)) в ходе построе­ния графика не должен превышать требуемой точности реше­ния уравнения.

Графическое решение системы нелинейных уравнений

Графическое решение системы нелинейных уравнений вида

(4.2)

следует начинать с преобразования этой системы к виду

. (4.3)

Теперь будем искать точки пересечения линий графиков g₁(x) и g₂(x). Дальнейшая последовательность действий такова:

1. Находим области определения функций g₁(x) – X₁ и g₂(x) – X₂ и далее пересечения этих областей: L = X₁∩X₂. Графики функций можно построить только в области L и не прибли­жаясь близко к точкам разрыва.

2. Выбираем интервал изменения аргумента x для построе­ния графиков. Этот интервал [a; b] (a – нижняя граница интервала; b- верхняя граница) должен быть достаточно широким, чтобы включить точки пересечения линий графиков g₁(x) и g₂(x). С другой стороны интервал [a; b] должен быть внутри области L.

3. Создаём арифметическую прогрессию из значений аргу­мента на выбранном интервале (п.2). Так как функции не­прерывного типа, то элементов этой прогрессии должно быть достаточно много (порядка 50).

Значение шага по аргументу определяем по формуле

Δx ≈ (b-a)/50. Однако шаг Δx не дол­жен превышать (в окончательном варианте) требуемой точно­сти решения системы уравнений.

Далее строим столбец значений аргумента на рабочем листе и обязательно его озаглавливаем (смотри п. «Создание арифметической прогрессии»).

4. Создаём два столбца значений функций g₁(x) и g₂(x) для за­данных значений аргумента. Эти столбцы также озаглав­ливаем и заполняем методом автозаполнения.

5. Выделяем вместе с заголовками столбцы значений аргумента и функ­ций и вызываем диалоговое окно Мастер диаграмм.

6. Выбираем в левом перечне Тип строку Точечная, а в правом перечне Вид – Точечная диаграмма со значениями, соединёнными отрезками без маркеров (пиктограмма в правом нижнем углу перечня видов графиков) и щёл­каем по кнопке Далее >, пропускаем второй шаг и щёл­каем по кнопке Далее >.

7. На третьем шаге Мастера диаграмм устанавливаем необходимое значение атрибутов диаграммы: заголовок, линии сетки, подписи осей, легенда, цвет фона области графика. Затем щёлкаем по кнопке Далее > или по кнопке Готово.

8. На последнем шаге Мастера диаграмм указываем, на какой рабочий лист поместить диаграмму.

9. Находим координаты точек пересечения линий графиков g1(x) и g2(x), которые являются решением системы уравнений. Для этого указатель мыши наводится на эти точки, читаются значения координат.