Лекция № 13 Основные элементарные функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
Функции
,
где
,
называют основными элементарными
функциями. Элементарной называют
функцию, аналитическое выражение которой
содержит лишь конечное число арифметических
операций и конечное число суперпозиций
основных элементарных функций.
Лекция № 14 Числовая последовательность. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Основные теоремы о пределе последовательности.
Числовую
функцию
,
областью определения которой является
множество натуральных чисел
,
называют функцией натурального аргумента
или числовой последовательностью. В
общем виде числовую последовательность
(или просто последовательность) обозначают
символом
или
.
Для последовательностей важны два способа задания :
1.
Аналитический, т.е. с помощью формулы
-го
члена вида
.
2. Рекуррентный: задают один или несколько первых членов последовательности и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предыдущим членам.
Числовые последовательности
как функции могут быть ограниченными
сверху (снизу), неограниченными,
монотонными и немонотонными. Но не имеет
смысла ставить вопрос о четности или
нечетности последовательности, так как
множество
не является симметричным.
Числовую
последовательность
называют сходящейся к числу
,
если для любого числа
> 0 найдется номер N такой что при всех
выполняется
неравенство
<
.
Число
при этом называют пределом последовательности
(
)
и обозначают символом
.
В символах математической логики
определение того, что
запишется так:
.
Последовательность
называется расходящейся к плюс (минус)
бесконечности, если для любого числа Е
найдется такой номер N, что при всех
выполняется неравенство
.
Обозначение :
.
К основным теоремам о пределе последовательности относят следующие теоремы.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 4. Если последовательность сходится к числу , а
последовательность
сходится к числу
и при этом
,
то
.
Теорема
5. Пусть даны три последовательности
,
и
такие, что
.
Если
,
то
.
Последовательность
,
где
некоторое число, называют постоянной.
Все ее члены равны
.
Очевидно, что такая последовательность
является ограниченной и сходящейся. Ее
пределом является число
:
.
Лекция № 15 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Неопределенности. Число е.
Определение
1. Последовательность
называют бесконечно малой,
если
(т.е. если
Теорема 1. Чтобы последовательность сходилась к числу , необходимо и
достаточно
чтобы последовательность
была бесконечно
малой.
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой последовательностью.
Замечание. Легко заметить, что эту теорему можно обобщить на любое конечное число слагаемых. Например, для доказательства, что сумма трех бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, достаточно дважды применить теорему 2.
Теорема 3. Если является бесконечно малой последовательностью, а -
ограниченная
последовательность, то
есть бесконечно малая
последовательность.
Следствие 1. Если - бесконечно малая последовательность, а - некоторое
действительное
число, то
является бесконечно малой
последовательностью.
Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей является бесконечно малой
последовательностью.
Следствие
3. Если
-
бесконечно малых последовательностей,
а
-
действительные числа, то последовательность
является
бесконечно малой.
Определение 2. Последовательность называют бесконечно большой,
если
,
т.е. если
Теорема 4. Чтобы последовательность была бесконечно большой,
необходимо и достаточно чтобы последовательность , где
,
была бесконечно малой.
Теорема
5. Если последовательности
и
сходятся к числам
и
соответственно, то
последовательность
сходится к числу
;последовательность
сходится к числу
;последовательность
сходится к числу
.
Теорема 6. Если последовательность сходится к числу ;
последовательность
сходится к числу
,
то
последовательность
сходится к числу
.
Неопределенностями
называют пределы некоторых
последовательностей, которые в зависимости
от конструкции последовательностей
могут принимать различные значения или
не существовать. К неопределенностям
относят
,
если
(неопределенность типа
);
,
если
(неопределенность типа
);
,
если
(неопределенность типа
);
,
если
или
(неопределенность типа
);
,
где
(неопределенность типа
);
,
где
(неопределенность типа
);
,
где
(неопределенность типа
)
Последовательность
ограничена сверху и монотонно возрастает,
а, следовательно, сходится. Предел этой
последовательности принято обозначать
буквой
.
Число - иррациональное; его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: = 2,718281828459045...
Это
число часто принимают за основание
степени, а показательную функцию
называют экспонентой. Логарифм числа
по основанию
называют натуральным логарифмом и
обозначают
.