Глава 10. Построение и анализ частотных характеристик в Mathcad

Рассмотрим задачу получения и анализа частотных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC-фильтра низких частот (рис. 2.52) с применением MathCAD.

В главе 8 выведено выражение (2.15) для операторной передаточной функции ФНЧ. Пусть ω – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим в (2.15) оператор Лапласа s на комплексную переменную j·ω:

.

Преобразуем знаменатель выражения (2.19), выделив действительную и мнимую части:

.

Напомним, что в математике известна процедура избавления от мнимой единицы в знаменателе выражения:

.

Приняв

и

и учитывая (2.20), можно записать выражение для комплексной частотной характеристики ФНЧ:

где

– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФНЧ,

– мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФНЧ,

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФНЧ,

– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФНЧ.

Вектор (2.24) на комплексной плоскости частотных характеристик можно описать либо с помощью пары и , либо с помощью и . Наибольший интерес с практической точки зрения представляют и .

Введём исходные данные в MathCAD (рис. 2.64).

Рис. 2.64

Введём функции (2.25–2.28) в MathCAD (рис. 2.65).

Рис. 2.65

Для нахождения резонансной частоты ФНЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ω и ввести результат в соответствующую функцию (рис. 2.66).

Рис. 2.66

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение с помощью процедуры solve (рис. 2.67).

Рис. 2.67

Отбросим первый и третий полученные корни, а второй корень представим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх значениях сопротивления нагрузки (рис. 2.68).

Рис. 2.68

Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.69.

Рис. 2.69

Резонансная частота ФНЧ нелинейно зависит от сопротивления нагрузки (рис. 2.70).

Рис. 2.70

Фазочастотные характеристики ФНЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.71.

Рис. 2.71

Если повышать частоту входного сигнала ФНЧ, начиная от резонансной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте снизится в раз, по сравнению с амплитудой, при частоте, стремящейся к нулю. Такая частота определяет полосу пропускания ФНЧ. Определим полосу пропускания ФНЧ при ненагруженном режиме, решив нелинейное уравнение с помощью процедур solve. Результат представим в формате float (с плавающей точкой), взяв первые шесть значащих цифр результата (рис. 2.72).

Рис. 2.72

Истинным решением будет первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Найдём полосы пропускания ФНЧ при втором и третьем сопротивлениях нагрузки (рис. 2.73).

Рис. 2.73

Аналогично, истинным решением будет в обоих случаях первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Численные результаты расчётов в MathCAD, полученные в данной главе, внесём в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Показатель	Сопротивление нагрузки
Резонансная частота , Гц	997.472	994.987	703.562
Полоса пропускания , Гц	1551.23	1550.57	1304.32

Как видно из табл. 2.2, резонансная частота и полоса пропускания ФНЧ при увеличении загруженности фильтра смещаются в сторону низких частот.