Глава 11. Разложение в ряд Фурье и анализ сигналов в Mathcad
Как известно из курсов высшей математики и ТОЭ, любую периодическую функцию можно разложить на гармонические составляющие – это составляет задачу гармонического или спектрального анализа. Обратная задача – задача гармонического синтеза – состоит в генерации сигналов заданной формы методом суперпозиции гармонических сигналов разной амплитуды, фазы и частоты. MathCAD позволяет решать задачи гармонических анализа и синтеза с использованием встроенных процедур (рис. 2.74) либо непосредственно с помощью классических математических выражений.
Рис. 2.74
Гармонический анализ сигналов находит применение в электротехнике, энергетике, электромеханике, электроприводе, системах управления.
Обозначим исследуемый сигнал – периодическую функцию, которую необходимо проанализировать как f(t). Заменим функцию f(t) на конечную сумму Sn(t) по следующей формуле:
|
|
|
где
– постоянная составляющая;
– коэффициенты
синусных составляющих;
– коэффициенты
косинусных составляющих;
– частота основной
гармоники,
– количество
членов разложения или количество
гармоник.
Средняя квадратичная ошибка, возникающая из-за конечного количества гармоник, определим как
|
|
|
,
где
– период повторяемости функции f(t).
Коэффициент при косинусных составляющих разложения определим как
|
|
|
Коэффициент при синусных составляющих разложения определим как
|
|
|
§1. Гармонический анализ напряжения на выходе трёхфазного мостового выпрямителя
Пусть имеется трёхфазный мостовой выпрямитель, известный как схема Ларионова, с активной нагрузкой, подключенной к выходу (рис. 2.75).
Рис. 2.75
Необходимо проанализировать гармонический состав выходного напряжения выпрямителя с применением MathCAD.
Зададим в MathCAD частоту и систему фазных напряжений стандартной промышленной трёхфазной сети (рис. 2.76).
Рис. 2.76
Модули фазных напряжений представлены на рис. 2.77.
Рис. 2.77
Напряжение на выходе неуправляемого трёхфазного мостового выпрямителя зададим функцией (рис. 2.78). Как видно из рис. 2.78, выходное напряжение выпрямителя имеет значительную постоянную составляющую и незначительные по амплитуде пульсации.
Рис. 2.78
Зададим последовательность i, как порядковый номер гармоники (рис. 2.79). Рассчитаем коэффициенты гармоник (рис. 2.80).
Рис. 2.79
Рис. 2.80
Как видно из рис. 2.81, в разложении синусные составляющие равны нулю.
Рис. 2.81
Представим исходную функцию гармоническим рядом с ограниченным числом гармоник (рис. 2.82) и оценим погрешность такого представления. Как видно, погрешность очень мала.
Рис. 2.82
Рис. 2.83
Исходная функция выходного напряжения выпрямителя и соответствующий конечный гармонический ряд практически совпадают во всех точках, кроме минимумов (рис. 2.84).
Рис. 2.84
По графическому распределению коэффициентов гармоник видно, что ненулевыми являются шестая, двенадцатая, восемнадцатая и двадцать четвёртая гармоники (рис. 2.85).
Рис. 2.85