30. Пошук шляхів із заданою кількістю дуг між вузлами мережі.
Пошук шляхів із заданою кількістю дуг
Нехай
G
= (Х, А)
—
зв'язний
граф. Для визначення кількості шляхів,
що складаються з k
дуг,
необхідно звести в k-у
ступінь
матрицю суміжності. Тоді її елемент
дасть кількість шляхів довжини k
із вершини
до вершини
.
Приклад 4.2. Для графа, приведеного на рис.4.13 зліва, знайти всі шляхи довжини 3 (тобто, знайти всі шляхи, що містять рівно три дуги).
Рішення. Матриця суміжності для даного графа має вигляд, представлений на рис.4.13 справа.
|
|
Рисунок 4.13 |
|
Тоді
|
|
|
|
та
виглядають так:
,
Значення
означає, що з вершини 1 у вершину 1 існує
4 шляхи довжини 3,
—
з вершини 1 у вершину 2 — 5 шляхів довжини
3 і так далі
Щоб
виявити ці шляхи, слід позначити дуги,
наприклад, так, як на рис.4.14. Замість
матриці суміжності введемо в розгляд
матрицю, елементами якої є дуги вигляду
,
r
=
1, 2, …., 10 (рис.4.15).
|
|
Рисунок 4.14 |
Рисунок 4.15 |
Виконуємо символьне множення матриць:
У таблиці 4.2 приведена матриця по стовпцях.
|
1 стовпець |
|
2 стовпець |
|
3 стовпець |
|
4 стовпець |
Відмітимо,
що число доданків в кожному елементі
отриманої матриці рівне числу елементів
матриці
. |
Розглянемо, наприклад, суму . Вона відповідає чотирьом шляхам з вершини 1 у вершину 1: |
1-
-3-
-2-
-1,
1-
-2-
-3-
-1,
1-
-4-
-3-
-1,
1-
-3-
-4-
-1.