20. Встановлення оптимального об’єму партії в задачі з дефіцитом.

Використовуючи (2.24), основні формули (2.22) і (2.23) можна записати компактніше:

, (2.25)

. (2.26)

Необхідно врахувати, що в силу (2.17) та (2.26) і . Тому твердження про те, що щільність збитків із-за незадоволеного попиту дорівнює p, означає , що на протязі (1-p)100% часу від повного періоду Т запас продукту буде відсутній.

Із порівняння формул (2.25) та (2.10) випливає, що оптимальні об’єми партій для задач з дефіцитом та без дефіциту при однакових параметрах пов’язані співвідношенням

, (2.27)

звідки випливає, що оптимальний об’єм партії в задачі з дефіцитом завжди більший (в раз), ніж в задачі без дефіциту.

21. Стохастичні моделі.

Розглянемо стохастичні моделі управління запасами, в яких попит являється випадковим. Цей факт істотно відбивається на характері відповідних моделей та значно ускладнює їх аналіз, тому будемо розглядати найпростіші моделі.

Припустимо, що попит r за інтервал часу Т являється випадковим і задано його закон (ряд) розподілу p(r) або щільність ймовірностей φ(r) (як правило функції p(r) та φ(r) оцінюються на основі дослідних або статистичних даних). Якщо попит r нижчий рівня запасуs, то придбання (зберігання, продаж) надлишку продукту потребує додаткових затрат c₂ на одиницю продукту; навпаки, якщо попит r вище рівня запасу s, то це приводить до штрафу за дефіцит c₃ на одиницю продукції.

22. Встановлення функції сумарних витрат в стохастичних моделях управління запасами з випадковим попитом.

В якості функції сумарних витрат, що в стохастичних моделях являється випадковою величиною, розглядають її середнє значення або математичне очікування.

В моделі, що розглядається, при дискретному випадковому попиті r, що має закон розподілення p(r), математичне очікування сумарних витрат має вигляд:

(2.28)

У виразі (2.28) перший доданок враховує витрати на придбання (зберігання) надлишку s-r одиниць продукту (при r ≤ s), а другий доданок – штраф за дефіцит на r-s одиниць продукту (при r > s).

У випадку неперервного випадкового процесу, що задається щільністю ймовірностей φ(r), вираз C(s) прийме вигляд:

(2.29)

23. Сутність задачі управління запасами у стохастичних моделях.

Задача управління запасами заключається в знаходженні такого запасу s, при якому математичне очікування сумарних витрат (2.28) та (2.29) приймають мінімальне значення.

В роботах А. Кафмана та У. Черчмена доведено, що при дискретному випадковому процесі r вираз (2.28) мінімальний при запасі s₀, що задовольняє нерівностям

F(s₀) < p < F(s₀+1), (2.30)

а при непереривному випадковому процесі r вираз (2.29) мінімальний при значення s₀, визначеному із рівняння

F(s₀) = p, (2.31)

де F(s) = p(r < s) (2.32)

є функцією розподілення попиту r, F(s₀) та F(s₀ + 1) – її значення; p – щільність збитків через незадовільний попит, що встановлюється за (2.24).

Отриманий запас s₀ при безперервному попиті за даним значенням p може бути знайдений і графічно (рис. 2.4)

Рис.2.4