65 Моделі множинного вибору в експертному оцінюванні майбутнього.

Розглянемо випадок, коли перед експертами стоїть задача вибору не серед двох, а серед цілої безлічі альтернативних варіантів. За наслідками їх вибору, оформленим у вигляді псевдовибірки, вимагається побудувати модель, за допомогою якої можна буде здійснювати прогнозні розрахунки експертних переваг у вигляді відповідної вірогідності. Для вирішення цієї задачі можна скористатися мультіноміальноюлогіт-моделью, яка по суті є узагальненням логіт-моделібінарного вибору. Нижче достатньо детально описується мультіноміальналогіт-модельі деякі деталі, що характеризують особливість її побудови і аналізу.

Вірогідність настання того або іншого варіанту описується поліноміальною логіт-моделю

.

Вектор незалежних змінних х = [z_j, w_j] складений з двох підвекторів, кожний з яких має власне смислове навантаження. Компоненти вектора z_; прийнято називати атрибутами і розуміти їх як показники, по яких розрізняються альтернативи. У свою чергу, компоненти вектора w_іназивають характеристиками.

Оцінка параметрів моделі не даєоднозначного результату, оскільки разом з обчисленими коефіцієнтами bідентична вірогідність дозволяє одержати вектор b + d. Уникнути цієї неоднозначності дозволяє операція нормалізації (стандартизації), значення якої в тому, щоб для одного з варіантів покласти b_j = 0. Тоді оцінюється не J + 1 функція, а Jфункцій одного вигляду

,

після чого визначається ще одна функція через значення цих функцій шляхом віднімання їх суми з одиниці:

Це одна з особливостей побудови поліноміальної логіт-моделі.

Оцінювання коефіцієнтів моделі здійснюється шляхом чисельного рішення рівнянь правдоподібності. Для запису самого рівняння правдоподібності, а точніше його логарифмічної форми, зручно ввести змінну d_ij, яка приймає значення 1, якщо в i-м спостереженні (i-м індивідуумом) був вибраний j-й альтернативний варіант серед (J + 1)-го, і 0 – інакше. Тоді для кожного і тільки одне з d_ij буде рівне 1.

Використовуючи введену змінну d_ij, запишемо функцію логарифмічної правдоподібності

.

Диференціюючи цей вираз по b_j, одержимо систему рівнянь максимальної правдоподібності

Рішення цієї системи з урахуванням того, що b_j =0, здійснюється чисельно за допомогою методу Ньютона – Рафсона. Комп'ютерна реалізація влаштована таким чином, і про це вже мовилося, що нульові значення одержують параметри тієї моделі, яка відповідає останній з вказаних альтернатив. Іншими словами, якби ми захотіли, щоб b₀ = 0, а не b_j, то дані, відповідні альтернативі з номером j = 0, повинні бути введені останніми.

Для реалізації методу Ньютона – Рафсона потрібен матриця приватних похідних другого порядку. Крім того, за допомогою цієї матриці визначаються характеристики надійності самої моделі. Тому має сенс виписати цю матрицю в загальному вигляді:

У одержаному виразі 1(j = l) приймає значення 1 при j = l і 0 – інакше. Це дозволяє здійснювати селекцію, оскільки результатом твору РЛ(j = l) є Р.,

Коефіцієнти моделі важко інтерпретуються. Нелінійний характер не дозволяє безпосередньо через коефіцієнти прослідити зв'язок між рівнем вірогідності і атрибутами (чинниками). Тому природно для цих цілей використовувати граничний аналіз. Диференціюючи по l-му атрибуту в i-й точці j-ю вірогідність, одержуємо граничний ефект у вигляді