Монотонные последовательности.
О
п р е д е л е н и е
Последовательность
называется
убы- вающей,
если для всех
выполняется неравенство
;
последовательность
называется невозраста
-ющей,
если для всех
выполняется неравенство
;
последовательность
называется возрастаю
-щей,
если для всех
выполняется неравенство
; последовательность
называется
неубываю -щей,
если для всех
выполняется неравенство
.
Во всех этих случаях последовательность
называется
монотонной.
Например,
1. Последовательность
является невозрастающей. Она ограничена
сверху своим первым элементом 1, а
снизу числом 0.
2.
Последовательность
является неубывающей. Она ограничена
снизу числом 1, а сверху неограниченна.
3.
Последовательность
является возрастающей и ограниченной
с двух сторон - снизу числом 0, сверху
- числом 1.
Признак сходимости монотонной последовательности Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится, или, иначе, этот признак можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обоих сторон, то она сходится.
Замечание: условие ограниченности монотонной последова -тельности является необходимым и достаточным условием сходимости.
Следствием этого признака является так называемая
ТЕОРЕМА
(О вложенных отрезках) Пусть дана
бесконечная система отрезков
и пусть длины этих отрезков:
стремятся к нулю при
.
Тогда существует, и притом единственная,
точка
,
принадлежащая всем отрезкам этой
системы.
Доказательство.
Прежде всего следует заметить, что
точка
,
общая для всех отрезков, может быть
только одна. В самом деле, если бы
нашлась ещё одна точка
,
принадлежащая всем отрезкам, то и
весь отрезок
принадлежал бы всем отрезкам
.
Тогда для всех
выполнялось бы неравенство
.
Но это невозможно, так как
при
.
Докажем теперь существование точки
.
Так как последовательность отрезков
является стягивающейся, то
последовательность левых концов
является неубывающей, а последова
–тельность правых концов
- невозрастающей. Поскольку обе эти
последовательности ограничены (все
элементы этих
последовательностей
содержатся в отрезке
),
то по признаку сходимости они обе
сходятся. Но из того, что последовательность
является бесконечно малой, следует,
что обе последовательности имеют
тот же предел, который мы можем
обозначить
,
причём для всех
выполняется неравенство
,
т.е. точка
- общая для всех отрезков.
Ещё
одним следствием признака сходимости
монотонных последовательностей
является доказательство существования
предела последовательности
,
которая ограничена снизу числом 2,
а сверху - числом 3. Предел этой
последовательности считаем, по
определению равным
,
т.е.
.