2. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.

_Основные виды неопределённостей :

.

Раскрыть неопределённость - это значит вычислить соответствующий предел, если он существует, или установить, что он не существует.

При раскрытии неопределённостей вида или часто бывает удобно пользоваться правилом Лопиталя.

ТЕОРЕМА (правило Лопиталя). Пусть функции и

определены и дифференцируемы в неко-

торой окрестности точки , за исключением мо –

жет быть самой точки . Пусть далее

, или

и .

Тогда, если существует предел отношения про-

изводных конечный или бесконечный,

то существует и предел отношения функций, и

выполняется равенство .

Рассмотрим примеры:

1.

2.

3.

4.

Пользоваться правилом Лопиталя можно и в случае других видов неопределённостей, но только предварительно нужно получить дробь.. Рассмотрим примеры.

5. .

6.

7. (используя пример 5, получим.)

8.

3. Формула Тейлора.

Эта формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения..

Выводить эту формулу мы не будем. Приведём только формулу Тейлора для функции произвольного вида.

Пусть функция непрерывна и имеет производную в некоторой окрестности точки , тогда имеет место следующая формула, которая называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Существуют и другие формы остаточных членов. Частным случаем формулы Тейлора является формула Маклорена, которая получается из формулы Тейлора при .

Формула Маклорена.

где /

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1. . Так как

при имеем

, то формула Маклорена имеет вид:

Аналогичным образом, найдя производные - го порядка можно получить разложения в ряд Маклорена других функций. Приведем некоторые из них:

2.

3.

4.

5.

6.

§ 7. Исследование функций и построение

ГРАФИКОВ

1. Исследование с помощью 1 – й производной.

Признак монотонности функции

ТЕОРЕМА 1 Если функция дифференцируема на

интервале и на

, то функция не убывает (не воз –

растает) на интервале .

Доказательство. Возьмём две точки , такие что . Тогда на отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа, согласно которой получаем

Тогда, если на , то ; если на , то . Теорема доказана.

Точка называется точкой строгого локального макси -мума (минимума) функции , если для всех из некоторой  - окрестности точки выполняется неравенство . При . (см. рис 1)

Y y

maxx

minx

O O

(рис. 1)

Локальный максимум ( ) и локальный минимум ( ) объединяют общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие локального экстремума)

Если функция имеет в точке локаль –

ный экстремум и дифференцируема в этой

точке, то .

Доказательство. Так как в точке функция имеет ло -кальный экстремум, то существует интервал, , в котором значение является наибольшим или наимень- шим, а тогда, по теореме Ферма, в этой точке производная равна 0., т.е. .

Условие - это необходимое но не достаточное условие экстремума. Иногда точки, в которых , называют критическими точками , или точками возможного экстремума функции . В этих точках экстремум может быть или не быть, Например, если рассмотреть функцию . Её производная в точке . Но по виду графика, можем определить, что в этой точке функция не имеет экстремума. (см. рис 2)

Y

• x

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке производная не су -щеествует, но сама точка входит в область определения функции , то точка также является критической точ -кой функции .

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума) Пусть функ-

ция дифференцируема в некоторой  - ок –

рестности критической точки , тогда, если в

этой точке производная меняет знак с на

, то в точке функция имеет локальный

минимум, а если в точке знак производной

меняется с на , то в точке функ –

ция имеет локальный максимум.

ПРИМЕРЫ. Построим графики функций при помощи производной 1-го порядка.

1. .

Эта функция определена для всех х, принимает она только положительные значения. при .

Найдём производную это1 функции:

при Это критические точки функции. Построим числовую ось

- -1 + 1 - 3 +

min max min

,

Исследование с помощью первой производной завершено. Мы выяснили, что график имеет две точки локального минимума и одну точку локального максимума. Нашли промежутки убывания и возрастания функции. Нашли точки пересечения с осями координат. Осталось построить график.

Y

4

2,25

-1 O 1 3 x

2. .

Эта функция определена для всех и принимает любые значения.. при Найдём её производную:

. Критическими точками являются:

не существует, . Построим числовую ось

+ 0 - + х

Найдём значения функции в критических точках ,

.

Построим график

У

О 1 х

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке производная не существует, то в этой точке график функции имеет вертикальную касательную ( в случае, если точка входит в область определения)

7.2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда существует касательная к графику этой функции в любой точке , причём эта касательная не параллельны оси , так как её угловой коэффициент, равный , конечен.

О п р е д е л е н и е 1.. Будем говорить, что график функции имеет выпуклость, направленную вниз (или вогнутость) если расположен не ниже любой своей касательной в рассматриваемом промежутке, аналогично, график имеет выпуклость, направленную вверх (или просто выпуклость) если он находится не выше любой своей касательной. (см. рис.)

У у

Вверх

Вниз

O a b x O a b x

ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет на интервале

вторую производную и

во всех точках проме –

жутка , то график функции име –

ет на этом промежутке выпуклость, направлен –

ную вниз (вверх).

Доказательство. Требуется показать, что график функции находится не ниже (не выше) любой касательной, проведённой в произвольной точке графика функции. Запишем уравнение этой касательной, обозначив её текущую ординату через . (1)

Напишем разложение функции в окрестности точки по формуле Тейлора при

(2)

Вычитая равенство (1) из равенства (2), получим

. (3)

Тогда, если , то и график функции расположен не ниже (не выше) любой касательной.

О п р е д е л е н и е 2. Точка называется точкой перегиба функции , если в точке ,, если в этой точке график функции меняет направление выпуклости.

ТЕОРЕМА 2 (Необходимое условие выпуклости). Пусть гра-

фик функции имеет перегиб в точке

и пусть функция имеет

в точке непрерывную вторую производную.

Тогда .

Эта теорема следует из определения точки перегиба - точке перегиба меняется направление выпуклости и вторая производная меняет знак в этой точке. А так как вторая производная непрерывна в этой точке, то она обращается в ноль в токе ..

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если , то достаточным условием точки перегиба в точке является смена знака второй производной в этой точке.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. В точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны график функции находится выше касательной, а с другой - выше, т.е. перегибается через неё. (См. рис.)

У

M

O a b x

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если - точка максимума функции , то , если - точка минимума, то . Это ещё одно достаточное условие экстремума функции.