Понятие дифференцируемости функции.
О
п р е д е л е н и е. Функция
называется диффе- ренцируемой в точке
,
если её приращение
в этой точке можно представить в
виде:
,
(1)
где
- некоторое число, не зависящее от
,
а
- бесконечно малая функция при
,
т.е.
Для
того, чтобы функция
была дифференци -руема в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы она
имела в этой точке конечную производную.
Поэтому для функции одной переменной
дифференцируемость и существование
производной - понятия равносильные.
В формуле (1)
.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
В
самом деле, если функция дифференцируема
в точке
,
то
,
а это и означает непрерывность
функции
.
Обратное
утверждение неверно, т.е. из непрерывности
функции не следует её дифференцируемость.
Примером непрерывной, но не
дифференцируемой функции может служить
функция
.
Понятие дифференциала.
Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:
где
Слагаемое
- главная часть приращения функции.
О
п р е д е л е н и е.
Дифференциалом
функции
в точке
называется главная, линейная
относительно
часть приращения функции в этой
точке, т.е.
(2)
Учитывая,
что
,
формулу (2) можем записать в виде
.
(3)
Если
,
то по формуле (3),
,
т.е.
. (4)
Геометрический
смысл дифференциала.
Дифференциал функции
в точке
равен приращению ординаты касательной
в точке
,
в то время как
- это приращения самой функции в
точке
и
.
Правила дифференцирования.
Если
функции
дифференцируемы в точке
,
то сумма, разность, произведение и
частное этих функций (при условии,
что
)
также дифференцируемы в этой точке
и имеют место следующие формулы:
.
Производная
постоянной функции равна нулю (
.
Правило дифференцирования сложной функции:
ТЕОРЕМА.
Если функция
имеет
производную в
точке
,
а функция
имеет произ –
водную
в соответствующей точке
,
то
сложная
функция
также имеет произ-
водную в точке и справедлива следующая
формула
.
(1)
Доказательство. Так как функция дифференци -руема в точке , то приращение функции в этой точке может быть записано в виде
,
(2)
где
.
Поделив равенство (2) на
,
получим
.
(3)
Равенство
(3) справедливо при любых достаточно
малых
.
Возьмём
равным приращению функции
,
соот- ветствующему приращению
аргумента
в точке
,
и устремим в этом равенстве
к нулю. Так как, по условию, функция
имеет производную в точке
,
то она непрерывна в этой точке.
Следовательно
при
.
Но тогда и
,
т.е. имеем
(4)
Благодаря
соотношению (4) существует предел
правой части равенства (3) при
,
равный
.
Значит существует и предел при левой части равен -ства (3), который, по определению производной, равен произ -водной сложной функции в точке и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.
Например,
вычислить производную
,
здесь
,
тогда по формуле (1), получим,
.
5.6. Таблица производных сложных функций
Пусть
,
дифференцируемая функция. Тогда для
производных сложных функций имеют
место следующие формулы:
1.
;
2.
;
3.
$
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
:
9.
;
10.
;
11.
.
В
частности, если
,
то
,
и получим обычную таблицу производных.
5.7 Производная неявно заданной функции.
Пусть
зависимость между
и
задаётся неявно функцией
,
(1)
Причём, чаще всего, невозможно представление .
Тогда
берут производную равенства (1),
считая, что
.
При этом, как правило,
зависит от
и
Как выполняется дифференцирование
в этом случае, лучше посмотреть на
примерах.
1. Зависимость между и задаётся формулой:
.
Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:
Преобразуем это выражение:
Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть
Отсюда получаем выражение для :
.
2.
Найти
,
или
.
.
Вычислим производную левой и правой части равенства:
Тогда
и окончательно,
.