§ 2. Последовательность, предел последо –

ВАТЕЛЬНОСТИ.

1. Числовые последовательности и операции с ними.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если каждому числу натурального ряда чисел: 1, 2, …., , … , по определённому закону, ста - вится в соответствие некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел

(1)

называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Число называется общим членом последовательности, - порядковым номером последовательности. Зная порядко- вый номер и общий член последовательности, можем указать любой член последовательности. Сокращённо последователь -ность (1) обозначается символом . Например символом

обозначается последовательность: и таким же образом, по общему члену последовательности можно определить любой член последовательности.

Введём понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны произвольные последова-тельности и . Суммой этих последовательностей называется последовательность , разностью - после- довательность , произведением - последовательность и частным - последовательность . ( При определении операции необходимо требовать , чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.

ОРПЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу) если существует такое действи- тельное число (число ), что каждый элемент после -довательности удовлетворяет неравенству

. (1)

При этом число (число ) называется верхней (нижней ) гранью последовательности , а условия (1) называются условиями ограниченности последовательности сверху (снизу).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. если существует число , такое что для всех .

Например, последовательность ограничена снизу, но неограниченна сверху;

последовательность ограничена сверху числом 1, а снизу числом 0, т.е. просто ограничена;

последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу.

2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

О п р е д е л е н и е 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа существует номер , начиная с которого (т.е. для всех ) выполняется неравенство . (2)

Например, последовательность являет-ся бесконечно большой, а неограниченная последовательность не является бесконечно большой, так как для сколь угодно больших номеров существуют элементы равные 1 и невозможно выполнение неравенства (2).

О п р е д е л е н и е «. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству .

Например, последовательность является бесконечно малой. В самом деле, для произвольного существует номер , начиная с которого (для всех ) выполняется неравенство: .

Основные свойства бесконечно малых последователь- ностей.

1. Сумма или разность бесконечно малых последова- тельностей является бесконечно малой последова -тельностью. (более того, как следствие, алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью).

2. Бесконечно малая последовательность - ограничена.

3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую - бесконечно малая последователь- ность. ( в частности, при умножении бесконечно малой последовательности на любое число получим бесконеч- но малую последовательность).

4. Произведение двух бесконечно малых последователь- ностей - бесконечно малая последовательность (как следствие, произведение любого конечного числа бес- конечно малых последовательностей является бесконеч- но малой последовательностью).

5. Если все элементы бесконечно малой последователь –ности равны одному и тому же числу , то

Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

ТЕОРЕМА 1 Если - бесконечно большая последова- тельность то является бесконечно малой, и наоборот, если - бесконечно малая последовательность, то последовательность является бесконечно большой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует отметить, что у бесконечно большой последовательности только конечное число элементов может быть равно нулю Это следует из определения бесконечно большой последовательности, так как существует номер , начиная с которого для всех элементов выполняется неравенство . Это означает, что для всех элементы последовательности не равны нулю и поэтому последовательность имеет смысл, если её элементы начинать рассматривать начиная с номера . Докажем, что последовательность бесконечно малая. Возьмём произвольное число . Для числа можем указать номер , начиная с которого ве элементы последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда, начиная с этого номера, будет выполняться неравенство . Таким образом доказано, что последовательность является бесконечно малой. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.