§ 6. Применение дифференциального исчисления к исслндованию функций

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

ТЕОРЕМА 1 (теорема Ферма). Пусть функция опре -

делена на интервале и в некоторой точке

этого интервала имеет наибольшее или наи -

меньшее значение. Тогда, если в точке суще-

ствует производная, то она равна нулю, т.е.

.

Y

0

a b x

ТЕОРЕМА 2 (теорема Ролля) Пусть на отрезке

определена функция , причём:

1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует точка , в которой

.

Доказательство. В самом деле, если функция непре - рывна на , то по 2-й теореме Вейерштрасса, она имеет на этом отрезке максимальное значение и минимальное значение , т.е. существуют точки , такие что и выполняются неравенства:

Возможны два случая: 1) 2) В первом случае, . Во втором случае, так как , то хотя бы одно из значений, либо , либо функция принимает внутри интервала , а тогда существует точка , в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение. А так как функция дифференцируема на , то, по предыдущей теореме, .

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика функции, удовлетворяющей условию теоремы, существует по крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна оси . (Равенство означает, что в этой точке тангенс угла наклона касательной равен нулю.)

Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существенны, поэтому для выяснения условия применимости теоремы, необходимо проверять выполнение всех трёх условий.

ТЕОРЕМА 3 (теорема Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интер- вале . Пусть, кроме того Тогда существует точка такая, что справедлива формула

. (*)

Доказательство. Так как для всех , то (в противном случае получили бы противоречие с теоремой Ролля), т.е. формула (*) имеет смысл.

Рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию

.

Нетрудно заметить, что на отрезке удовле- творяет условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непре- рывна на , как линейная комбинация непрерывных функций. Она дифференцируема на и её производная равна . Кроме того, если подставить и , то получим, что .

Тогда, по теореме Ролля, существует точка , такая что .

.

Отсюда

.

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формула (*) называется формулой Коши или формулой конечных приращений.

Частным случаем этой теоремы при является так называемая теорема Лагранжа.

ТЕОРЕМА 4. (теорема Лагранжа) Пусть на отрезке

определена функция , причём непре-

рывна на отрезке ; дифференци –

руема на интервале . Тогда существует

точ ка , в которой выполняется форму-

ла . (**)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

Y

f(b) M₂

f(c)

f(a) 

M₁



o a c b x

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка , такая что касательная к графику функции в точке параллельна секущей .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Равенство

называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений..