МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова

А.В. ИЗОСОВ, Л.А. ИЗОСОВА

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Учебное пособие для студентов

заочной формы обучения

МАГНИТОГОРСК

2004

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое пособие имеет целью помочь студенту – заоч- нику освоить очень важный раздел высшей математики, имею- щий широкие применения в приложениях математики, физике, механике и других областях деятельности. Под термином «ма- тематический анализ» подразумевается, прежде всего, диффе- ренциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в. В узком смысле, как учебная дисци -плина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая сейчас является общей для всех современных мате -матических дисциплин. И понятна та совершенно исключи -тельная роль, которую играет математический анализ в мате- матическом образовании. Он, по существу, является фунда -ментом математических знаний.

§ 1 Вводные понятия и определения. Элементы

ТЕОРИИ ЛОГИКИ.

Приступая к изучению математического анализа, студент уже имеет представление о понятии множеств, среди которых выделяют такие, как числовые поля. Напомним обозначения числовых множеств: - множество натуральных чисел; - множество целых чисел (кольцо целых чисел); - мно -жество рациональных чисел (поле рациональных чисел); - множество действительных чисел (основное числовое поле);

- множество комплексных чисел. Между всеми этими множествами существуют соответствующие соотношения:

Важную роль в математическом анализе играет понятие ме- ры близости элементов различных множеств (понятие нормы или, связанного с ней, понятия метрики). Для числовых мно -жеств этой мерой является абсолютная величина или модуль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Абсолютной величиной (модулем) числа называется само число , если , и число , если .

Абсолютная величина числа обладает следующими свой- ствами, которые часто используются в различных областях математики

1). 2).

3). 4).

ЗАМЕЧАНИЕ. Для комплексного числа модуль равен , и для него все свойства сохраняются.

Действительные числа изображаются точками числовой прямой. На некоторой прямой (будем считать её располо -женной горизонтально) выберем положительное направление, начало отсчёта О и единицу масштаба .

О 1 М

Для изображения положительного числа возьмём на нашей прямой справа от точки О мочку М на расстоянии ( в принятом масштабе), равном данному числу ; для изобра -жения отрицательного числа возьмём точку слева от на -чала отсчёта О на расстоянии, равном ; числу бу -дет отвечать точка O - начало отсчёта. Таким образом мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между все- ми точками прямой и множеством действительных чисел: каж -дое действительное число будет изображено одной опреде -лённой точкой прямой, а каждая точка прямой является изо -бражением одного определённого действительного числа. В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом и действительное число и точку числовой оси.

Множество всех действительных чисел , удовлетворяю-щих неравенству , где , называется отрезком (сегментом) и обозначается . Интервалом назы -вается множество всех действительных чисел , удовлетво –ряющих неравенству . Аналогично определяются понятия полуинтервалов и

Мы будем рассматривать также бесконечные интервалы, введя несобственные точки (числа) и , т.е.

Пусть . - окрестностью точки называется интер- вал . Проколотой - окрестностью точки называется .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует число такое, что для всякого числа выпол- няется неравенство .

Множество называется ограниченным, если для всякого выполняется неравенство (т.е. ). Число называется нижней гранью множества , а - верхней гранью.

Исходя из свойств действительных чисел, можно утверж -дать, что среди всех нижних граней найдётся наибольшая, а среди всех верхних граней - наименьшая.. Их обозначают или - точная нижняя грань ( infiinum - наинизший ); или - точная верхняя грань множества (supremum - наивысший).

В дальнейшем для сокращения записи и для построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями.

Квантор существования - - соответствует словам «сущес- твует», «найдётся». Квантор общности - - соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «для всех».

Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Высказывания условимся обозначать .

Импликация (если , то ) или ( влечёт ) означает высказывание, которое ложно в том или только в том случае, когда истинно, а - ложно.

Эквивалентность - ( тогда и только тогда, когда ) означает логическую равносильность высказываний и .

Конъюнкция означает : высказывание « и » считается истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.

Дизъюнкция означает высказывание или считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Отрицание - означает «не » - истинно, если ложно и, наоборот, ложно, если истинно.

Отрицание некоторого свойства, содержащего кванторы и , получается заменой каждого квантора на двойственный и заменой «свойства» на его отрицание. При этом, если , то .

Необходимое и достаточное условия: всякое высказывание , из которого следует , называется достаточным условием для . Высказывание в этом случае называется необхо -димым для высказывания .

Если высказывания и таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е. и , то говорят, что каждое из высказываний и является необходимым и доста -точным для другого и пишут .