Задача розподілу функцій

Припустимо, що відоме рішення задачі розподілу обсягів робіт, тобто, якщо вирішено, хто з членів команди які функції виконує, то можна знайти оптимальне їх „завантаження”. Тоді можна розглядати задачі розподілу функцій.

Почнемо з транспортної задачі, в якій є графа, вершини якої розбиті на дві групи, – n агентів і m робіт (функцій).

Для агентів задані тривалості часу, які вони можуть витратити на роботу в команді – a_i, , для робіт – тривалість їх реалізації – b_j, . Також відомі затрати s_ij на виконання i-им агентом j-ої роботи протягом одиниці часу.

Нехай задача є замкнутою, тобто – сумарний часовий ресурс агентів дорівнює сумарній тривалості робіт (вводячи фіктивного агента або фіктивну роботу будь-яку незамкнуту задачу можна звести до замкнутої). Потрібно визначити розподіл агентів по роботах (функціям), що мінімізує сумарні затрати.

Формально транспортну задачу можна записати у вигляді:

(7) , (8) , (9)

Умова (8) означає, що кожен агент „завантажений” повністю, умова (9) – що всі роботи виконані. Алгоритми вирішення транспортної задачі описані в літературі¹.

Окремим випадком транспортної задачі є задача про призначення, що полягає в наступному: є n агентів, які можуть виконувати різні роботи (реалізовувати різні функції, обіймати різні посади), число робіт дорівнює числу працівників (ввівши фіктивні посади і / або фіктивних агентів, завжди можна незамкнуту задачу привести до даної замкнутої форми). Відомі затрати на призначення i-го агента на j-ту посаду (наприклад, мінімальна зарплата, за яку він погодиться працювати на цій посаді). Потрібно знайти призначення працівників на посаді (кожного працівника на одну і лише одну посаду), що мінімізує сумарні затрати (якщо інтерпретується як ефективність від роботи i-го працівника на j-ій посаді, то оптимальне призначення повинне максимізувати сумарну ефективність).

Формально задачу про призначення можна записати у вигляді:

(10) , (11) , (12)

Методи рішення задачі про призначення (10)-(12) описані в літературі². Змістовною інтерпретацією цієї задачі в термінах менеджменту³, або управління проектами⁴ є знаходження оптимальної матриці відповідальності.

Транспортна задача і задача про призначення є хрестоматійними задачами дослідження операцій і мають безліч узагальнень (урахування обмежень на сумісність робіт, що виконуються одним агентом, обмежень на послідовність виконання робіт, багато критеріальності тощо¹), які доцільно використовувати при вирішенні задач розподілу функцій між членами команди. Крім того, для таких задач може виявитися адекватним і апарат теорії масового обслуговування², у випадку, якщо набір функцій, що реалізовуються командою, міняється в часі по відомих (статистично описуваним) законах.

Задача формування складу команди

Уміючи визначати оптимальний розподіл функцій і обсягів робіт для фіксованого складу членів команди, можна ставити і вирішувати задачу формування оптимального складу команди.

Розглянемо коротко відомі на сьогоднішній день підходи теорії управління і економічної науки до завдань формування складу організаційних систем.

Економіка праці і економіка організацій. В рамках економіки праці основний результат, що визначає оптимальну чисельність працівників, відображає рівність вироблюваного ними граничного продукту (граничній продуктивності) і граничних витрат на їх залучення і утримання. Кількість доданої продукції (доходу), яку отримує виробник, наймаючи одного додаткового (понад тих, що вже працюють) працівника (одиницю праці), називається граничним продуктом праці. Граничні витрати є витрати на прийом на роботу додаткового працівника. Умова максимізації прибутку (різниці між доходом і витратами) вимагає, щоб прибуток був максимальний. Для цього слід змінювати число зайнятих (збільшувати, якщо граничний дохід перевищує граничні витрати, і зменшувати якщо навпаки) до тих пір, поки граничний дохід не дорівнюватиме граничним витратам. Такий підхід може бути застосований для визначення оптимального розміру однорідної команди³.

Для економіки організацій прийнятий наступний загальний підхід до визначення оптимального розміру організації¹. З одного боку, існує ринок – як система обміну прав власності. З іншого боку, економічні агенти об'єднуються в організації, що взаємодіють на ринку. Поясненням існування економічних організацій служить необхідність компромісу між транзакційними і організаційними витратами, які визначаються „витратами на координацію” усередині організації, зростаючими із збільшенням її розмірів. Для команд характерна наявність тісних інформаційних та інших зв'язків між всіма її членами. Тому із зростанням числа членів команди організаційні витрати (залежно від числа зв'язків) зростають дуже швидко. Напевно, цим пояснюється те, що практично ні в одній сфері діяльності не зустрічаються команди, що складаються з декількох сотень або навіть десятків осіб².

Транзакційні витрати перешкоджають ринку замінити собою організацію, а організаційні витрати перешкоджають організації замінити собою ринок. Основна ідея (якісна), використовувана в економіці організацій при обговоренні задач формування складу, полягає в тому, що, оскільки і транзакційні, і організаційні витрати залежать від розміру організації і її структури, то теоретично мають існувати оптимальні параметри організації, при яких досягається урівноваження згаданих тенденцій заміщення³.

Теорія управління організаційними системами. Перші систематичні постановки задач формування складу організаційних систем (ОС) з'явилися нещодавно⁴. Можна виділити три загальні підходи до вирішення задач формування складу ОС⁵. Перший підхід полягає в „лобовому” розгляді всіх можливих комбінацій потенційних учасників ОС. Його гідність – знаходження оптимального рішення, недолік – висока обчислювальна складність. Другий підхід ґрунтується на методах локальної оптимізації (послідовному переборі складів ОС з деякого масиву певного складу). Використовувані при цьому евристичні методи, як правило, мають прозорі змістовні інтерпретації, але в загальному випадку не дають оптимального рішення і тому вимагають оцінювання їх гарантованої ефективності. Третій підхід полягає у виключенні свідомо неефективних комбінацій агентів на підставі аналізу специфіки задачі.

Наприклад, якщо можна апріорі упорядкувати претендентів на приєднання в команду по убуванню ефективності їх діяльності або граничного внеску, що привноситься в команду, то задача про оптимальний склад (число можливих команд з n претендентів має порядок 2ⁿ) зведеться до задачі про оптимальний розмір команди (що має набагато меншу обчислювальну складність – адже з n впорядкованих претендентів можна скласти n непорожніх команд різного розміру). При цьому обчислювальна складність різко скорочується, і інколи вдається отримати точне (оптимальне) рішення, але, на жаль, даний підхід застосовний далеко не завжди, і у кожному конкретному випадку можливість його використання вимагає відповідного обґрунтування.

Необхідно також згадати про задачі формування оптимальних організаційних ієрархій¹, в яких мова йде про побудову ієрархії управління (визначенні відносин підлеглості) в організаційних системах. Цю задачу також можна умовно віднести до задачі формування складу і „розподілу обов'язків”².

Приведемо формальну постановку задачі формування складу ОС. Введемо наступні позначення: N₀ – множина агентів – претендентів на включення в склад команди, |N₀| = n₀; N – склад команди (варіант вирішення задачі формування складу), |N| = n ≤ n₀; F(N) – функціонал ефективності, що ставить у відповідність кожному можливому складу дійсне число. Відзначимо, що функціонал ефективності може бути отриманий в результаті вирішення (у загальному випадку для кожного з можливих складів) задач розподілу функцій і обсягів робіт.

Формально задача формування команди полягає в знаходженні її складу N*, що володіє максимальною ефективністю: (13)

Задача (13) є задачею дискретної оптимізації. На допустимі склади команди можуть додатково накладатися як вимоги обов'язкового включення в неї тих або інших груп агентів (що забезпечують реалізацію певних функцій), так і заборони на включення тих або інших груп агентів (наприклад, таких, про яких відомо, що вони володіють низькою ефективністю спільної діяльності або конфліктували один з одним раніше).

Моделі синергетичного ефекту. Як наголошувалося вище, однією з основних характеристик команди є наявність синергетичного ефекту взаємодії членів команди (тобто, емерджентності – властивості цілого не зводяться до „суми” властивостей його частин). Адекватним інструментом його моделювання представляється теорія кооперативних ігор¹.

Позначимо – множина агентів. Нехай для кожного агента , відома неспадаюча „виробнича функція” і наявне у нього в розпорядженні „кількість ресурсу” R_i. Величина v_i(R_і) може трактуватися як індивідуальний (при дії поодинці) виграш i-го агента, .

Визначимо , де - коаліція (команда) агентів. Введемо функцію , яка визначатиме максимальний сумарний виграш, який можуть отримати члени коаліції S.

Передбачимо також, що цей виграш може бути довільним чином поділений між членами коаліції, тобто розглянемо гру з трансферабельною корисністю².

Функція v(•) монотона, тобто, і суперадитивна, тобто, .

Змістовно суперадитивність означає наявність синергетичного ефекту (ефект цілого не менше суми ефектів його частин) - вигідність кооперації. Проте вона в загальному випадку не гарантує стійкості результатів кооперативної взаємодії. Тим не менше, відомо², що, якщо функції v_і(•), - ввігнуті, то С-ядро кооперативної гри агентів з безлічі N не порожньо, тобто максимальна коаліція (що складається зі всіх n агентів) стійка в сенсі існування ділення, такого, що жодній коаліції S не вигідно відділятися від максимальної коаліції N і ділити між членами цієї коаліції виграш v(S)³.

Отже, в кожному окремому випадку для обґрунтування того, що всі агенти об'єднаються в команду, і їх взаємодія буде стійка, досить перевірити угнутість їх «виробничих функцій» (відзначимо, що ці функції не обов'язково мають бути такими, що монотонно зростають - С-ядро існує і при однопікових - що мають єдину точку максимуму - функціях⁴).

Якщо гіпотетично передбачити, що „виробничі функції” агентів увігнуті і, отже, утворюється максимальна коаліція, то виникає питання, а як визначити раціональні кордони команди – адже поки в рамках даної моделі збільшення „розміру” команди було вигідне. Зрозуміло, що на практиці необмеженого зростання розмірів команд не спостерігається. Значить, в моделі необхідно врахувати чинники, стримуючі зростання команди, а, як наголошувалося вище, таким чинником є організаційні витрати.

Для того, щоб врахувати організаційні витрати, введемо функцію множини, що володіє властивістю монотонності:

Визначимо характеристичну функцію F(S) кооперативної гри агентів як різницю між ефектом v(S) від кооперації і організаційними витратами w(S):

(14) .

Вищевідзначене, що функція v(S) є суперадитивною. Якщо додатково припускати і супераддитивність функції w(S): , яка змістовно означає, що витрати на управління командою більші, ніж сума витрат на управління її частинами (обумовлено це може бути, у тому числі, необхідністю координації взаємодії цих частин), то це зовсім не гарантує суперадитивності функції F(S). Тобто, в загальному випадку наступна властивість не має місця:

(15)

Для суперадитивності функції F(S) достатньо субадитивності організаційних витрат: . Змістовні інтерпретації останньої властивості наступні – витрати на управління командою не перевершують суми витрат на управління її частинами (що може мати місце, якщо ефекти самоорганізації в команді досить сильні).

Отже, якщо організаційні витрати субадитивні, то отримуємо кооперативну гру агентів з безлічі N₀ з характеристичною функцією F(S), S і N₀, яка суперадитивна, але не монотонна. Вирішення цієї кооперативної гри (у кожному конкретному випадку слід конкретизувати, яка з концепцій вирішення кооперативних ігор використовується – рішення в погрозах, контрпогрозах, тощо¹) дасть відповідь на питання – які коаліції будуть стійкі, і чи існує стійке ділення виграшу між членами цих коаліцій.

Приведені міркування можна повторити для кожного варіанту N і N₀ складу команди з агентів, що „набирають” з безлічі претендентів N₀. У результаті, наприклад, при використанні концепції С-ядра, можна для кожного з безлічі N і N₀ оцінити як сумарний виграш команди N в цілому, так і відповідні організаційні витрати; зрозуміти, чи буде така команда стійка та ін. Після цього вже можна вирішувати, яка із стійких команд „краща” по тих або інших критеріях.

З теоретичної точки зору відповідь знайдена – задача пошуку оптимального (з врахуванням і ефектів кооперації, і витрат на управління) складу команди зведене до перебору по всіх можливих командах результатів аналізу відомої задачі пошуку вирішення кооперативної гри. Проте ця загальна задача може не мати рішення, або пошук його може виявитися надзвичайно трудомістким. Подібного роду проблеми типові для задач формування складу і структури організаційних систем.

Таким чином, „задачі про призначення” враховують такі характеристики команди як: єдність мети, спільну діяльність, спеціалізацію і взаємодоповнювану ролей. З іншого боку, цей клас моделей майже не враховує такі властивості команди, як: несуперечність інтересів її членів і автономність команди¹.