9.2. Задачі про призначення

Термін „задачі про призначення” є умовним і охоплює широкий клас оптимізаційних задач, що включає задачі формування складу команд, задачі розподілу функцій (ролей) в неоднорідних командах і задачі розподілу обсягів робіт.

Перераховані три типи задач взаємозв'язані і вирішуються „циклічно” – адже для того, щоб формувати склад команди, потрібно знати, які функції виконуватиме той або інший агент, що включається в команду; а для оптимального розподілу функцій потрібно знати, який обсяг робіт доцільно виконувати даному агентові в рамках тієї або іншої функції (рис.9.1).

Рис.9.1. Взаємозв'язок задач формування складу команд, розподілу функцій і розподілу обсягів робіт

Тому розглянемо послідовно задачу розподілу обсягів робіт, задачу розподілу функцій і задачу формування складу команди.

Задача розподілу обсягів робіт

Нехай фіксований склад команди - множина однорідних (по функціях, тобто що виконують однотипні функції) агентів N = {1, 2, …, n }, відомий сумарний обсяг робіт R ≥ 0, який потрібно виконати, і задані типи агентів {r_i}_{i є N} (характеристики, що відображають ефективність їх діяльності). Потрібно розподілити обсяги робіт між агентами.

Така постановка задачі є дуже загальною і вимагає деталізації. Можливі різні варіанти. По-перше, слід розділити дискретні і безперервні задачі¹.

У дискретній задачі обсяг робіт d_i ≥ 0, який може виконувати i-ий агент, фіксований. Якщо інтерпретувати тип агента як собівартість виконання ним одиничного обсягу робіт, то отримаємо дискретну задачу розподілу обсягу робіт R між агентами з метою мінімізації сумарних затрат (змінна x_i набуває значення 0, якщо i-ий агент не працює, і значення 1, якщо він працює):

(1) , (2)

Задача (1)-(2) відноситься до класу задач про ранець², і має вирішення за умови (3) , тобто, коли сумарний обсяг робіт не перевищує „виробничих можливостей” всіх агентів.

Загальним „недоліком” дискретних задач є те, що лише мала їх частина має ефективні методи рішення. Для NP-складних задач при малому їх розмірі можна використовувати метод повного перебору, а при збільшенні розміру – різні евристичні або інші методи рішення¹.

Допустимо тепер, що i-ий агент може виконати будь-який обсяг робіт, що не перевищує d_i,. Тоді, позначаючи x_i – обсяг робіт, що виконується i-им агентом, отримаємо безперервну задачу: (4) , (5)

яка при виконанні умови (3) має просте вирішення: слід упорядкувати агентів в порядку зростання собівартостей r_i і послідовно завантажувати їх по максимуму до тих пір, поки не буде розподілений весь обсяг робіт R.

Узагальнюючи модель далі, припускатимемо, що відомі функції затрат агентів c_i(x_i, r_i), залежні від обсягів робіт і типів. Задача мінімізації сумарних затрат (6) , при обмеженні (5) є типовою задачею умовної оптимізації².

Безліч аналогічних задач розподілу ресурсів досліджувалися в математичній економіці³. Отримані при їх вирішенні результати можуть безпосередньо використовуватися при розподілі обсягів робіт між агентами, що входять в однорідну команду.

Складнішими є задачі розподілу ресурсів команди між роботами, пов'язаними технологічно, наприклад – в рамках проекту⁴. При заданому мережевому графіку, що відображає взаємозв'язок робіт, тривалість кожної роботи залежить від використовуваного для її виконання ресурсу. Отже, за рахунок розподілу обсягів робіт і ресурсів між агентами, можна впливати на довжину критичного шляху, що визначає тривалість проекту. Відповідні задачі розглядаються в календарно-мережевому плануванні і управлінні¹. Результати їх вирішення також можуть використовуватися при розподілі обсягів робіт між агентами, що входять в команду.

Таким чином, можна зробити висновок, що на сьогоднішній день в математичній економіці і дослідженні операцій², накопичений значний досвід постановки і вирішення різноманітних задач розподілу ресурсів, який доцільно використовувати і при аналізі процесів ефективного формування і функціонування команд. Перейдемо тепер до задачі розподілу функцій.