Розв'язання.

Графіком цієї функції на інтервалі є відрізок, що поєднує точки та . На рисунку 1 зображено графік функції , де - сума ряду Фур’є функції . Ця сума є періодичною функцією з періодом і співпадає з функцією на сегменті .

Визначимо коефіцієнти ряду Фур'є. Спочатку знаходимо

.

Рис.1.

Другий інтеграл дорівнює нулю як інтеграл від непарної функції, який обчислено на інтервалі, симетричному початку координат. Отже,

.

Далі, знаходимо коефіцієнт . Маємо

.

Другий інтеграл дорівнює нулю, так як підінтегральна функція є непарною (добуток парної функції на непарну), ф інтеграл обчислюється на інтервалі, симетричному початку координат. Обчислимо перший інтеграл

.

Таким чином, коефіцієнт .

Знаходимо далі коефіцієнт :

.

Перший інтеграл дорівнює нулю (як інтеграл від непарної функції, який обчислено на інтервалі, симетричному початку координат). Підінтегральна функція другого інтегралу – парна як добуток двох непарних функцій, тому

.

Інтегруємо частинами, отримуємо , , , , тобто

.

Отже, для функції ряд Фур'є має вигляд:

.

2. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом , задану на інтервалі рівнянням .

Розв'язання

Задана функція є парною. Її графік – ламана між точками (-1; 1), (0; -1) та (1; 1) (рис.2).

Оскільки , то

.

Рис.2.

Далі,

.

Інтегруємо частинами: , , , , тобто

.

Оскільки задана функція – парна, то . Таким чином, ряд Фур’є заданої функції має вигляд

.

3. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом (рис.3), задану на сегменті наступним чином:

Розв'язання

Знайдемо коефіцієнти Фур'є для заданої функції. Маємо

.

Рис.3.

Далі,

.

Розглянемо окремо кожен інтеграл. Для першого маємо

.

У другому інтегралі застосовуємо формулу інтегрування частинами: , , , . Отже

.

Таким чином, .

Далі, знайдемо коефіцієнт :

.

Обчислюємо окремо кожен інтеграл. Для першого маємо

.

Другий – інтегруємо частинами: , , , . Отже

.

Таким чином,

.

Отже, ряд Фур’є заданої функції має вигляд:

Перелік літератури

1. Вища математика. К.1. Основні розділи / За ред. Г.Л.Кулініча. К.: «Либідь» - 2003, 400 с.

2. А.Д.Тевяшев, О.Г.Литвин. Вища математика у прикладах і задачах. Ч.2. – К.: Кондор, 2006 – 588 с.

3. Вища математика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. / К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова, О. І. Лютий та ін. — Вид. 2-ге, перероб. і доп. — К.: КНЕУ, 2002. — 606 с.

4. Вища математика: Збірник задач: Навч.посібник/ В.П. Дубовик, І.І. Юрик та ін.; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: Видавництво А.С.К., - 2003. – 480 с.

5. Л.А.Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)/ Уч. пособие для втузов. – 2-е изд. доп. – М.: В.школа, 1994. – 206 с.

Навчальне видання

Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Математичний аналіз» для студентів, що навчаються за напрямом 6.040301 “Прикладна математика” (змістовий модуль 4)

Укладач: С.В.Тимченко, ст. викладач

Підписано до друку _________________ 20__ р.

Формат ____________ Обсяг________ др. арк.

Тираж _____________ екз. Заказ ___________

Редакційно-видавничий відділ ДДТУ