МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДНІПРОДЗЕРЖИНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до самостійної роботи з дисципліни
«Математичний аналіз»
(змістовий модуль 4)
для студентів, що навчаються за напрямом
6.040301 “Прикладна математика”
ЗАТВЕРДЖЕНО:
Редакційно-видавничою секцією
науково-методичної ради ДДТУ
“ _____ ” _____ 2012 р. протокол №
Дніпродзержинськ
2012
Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу Дніпродзержинського державного технічного університету заборонено.
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Математичний аналіз» для студентів, що навчаються за напрямом 6.040301 “Прикладна математика” (змістовий модуль 4) / Укладач С.В.Тимченко – Дніпродзержинськ, ДДТУ, 2012. - 43 с.
Укладач: С.В.Тимченко, ст. викладач
Відповідальний за випуск: С.Є.Самохвалов,
проф., доктор техн. наук
Рецензент: В.В.Кармазина, к.ф.-м.наук, доцент
Затверджено на засіданні кафедри ПМ
протокол № 8 від 30 січня 2012 року
Коротка анотація до видання. У методичних вказівках до самостійної роботи студентів з дисципліни “Математичний аналіз” (змістовий модуль 4) надано варіанти індивідуальних завдань для модульного контролю. Наведено зразок виконання індивідуального завдання.
ЗМІСТ
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 |
Варіант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 |
Варіант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 |
Варіант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 |
Варіант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 |
Варіант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 |
Варіант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 |
Варіант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 |
Варіант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 |
Варіант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 |
Варіант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 |
Варіант 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 |
Варіант 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 |
Варіант 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |
Варіант 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |
Варіант 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |
Варіант 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |
Варіант 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |
Варіант 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |
Варіант 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |
Варіант 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |
Зразок виконання індивідуального завдання . . . . . . 25 |
Перелік літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |
ВСТУП
Важливим елементом засвоєння математики й оволодіння її методами є самостійна робота студентів. Ця робота є неперервною складовою виконання поточних домашніх завдань і циклічної роботи з виконання індивідуальних модульних завдань. Результативність самостійної роботи студентів забезпечується ефективною системою контролю, яка включає опитування студентів за змістом лекції, перевірку виконання поточних домашніх завдань, розв’язування задач біля дошки, захист індивідуальних модульних робіт.
Метою індивідуальних домашніх завдань є перевірка результативності самостійної роботи з даного модуля.
Студент повинен самостійно розв’язати індивідуальні домашні завдання свого варіанта, який відповідає номеру студента у списку навчальної групи.
Розв’язання завдань із поясненнями слід подати у зошиті, на обкладинці якого необхідно написати назву дисципліни та модуля; прізвище студента, його ім’я і по батькові; курс, номер групи; номер варіанта. Кожне завдання необхідно позначати його номером за методичними вказівками. Умову завдання треба переписати повністю.
Якщо після перевірки роботи викладачем зроблені зауваження, студент повинен розв’язати наново неправильно виконані завдання у тому самому зошиті і повторно подати його на перевірку. Після позитивної оцінки викладача робота підлягає захисту.
Варіант 1
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
2; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 2
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
2; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 3
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
- 4 ;
2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
π.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 4
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
,
а
=
– 1
;
2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
– 4.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 5
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 3
; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 6
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1
; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
2/5.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 7
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 4
; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
π/4.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 8
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1
; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 9
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1 ; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 10
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
;
8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 3
; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
π/4.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 11
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
;
2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1
; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
π/3.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 12
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 3
; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
2π/3.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 13
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1 ; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
π/6.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2)
,
;
Варіант 14
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1 ; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 15
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 3 ; 2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 16
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 1 ; 2)
, а
=
0;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
π/2.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 17
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
;
2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
,
а
=
– 1;
2)
,
а
=
0;
3)
,
а
=
0;
4)
,
а
=
– 4.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 18
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1)
, а
=
– 2 ;
2)
, а
=
1;
3)
,
а
=
0; 4)
,
а
=
0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1)
; 2)
.
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
;
3)
2)
,
;
Варіант 19
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1) , а = - 4 ; 2) , а = 0;
3) , а = 0; 4) , а = 0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1) ; 2) .
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1)
,
; 3)
2) , ;
Варіант 20
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:
1) , а = – 1 ; 2) , а = 0;
3) , а = 0; 4) , а = 0.
Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:
1) ; 2) .
Завдання 5. Знайти ряд Фур’є функції:
1) , ; 3)
2) , ;
Зразок виконання індивідуального завдання
Завдання 1. Провести дослідження на збіжність:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Розв’язання
Випишемо загальний член ряду. Для цього розглянемо послідовність перших та других множників. Маємо 2; 5; 8; … - арифметична прогресія, загальний член якої визначається як
,
Аналогічно 5; 8; 11; … - арифметична прогресія, загальний член якої визначаємо
.
Таким
чином, загальний член ряду набуває
вигляду
.
Перевіримо
необхідну умову збіжності числового
ряду, а саме
.
Маємо
.
Необхідна
умова виконується. Далі використовуємо
достатню умову збіжності, а саме
інтегральну ознаку Коші. Тут
- додатна, неперервна і монотонно спадна
функція для всіх
.
Умови інтегральної ознаки виконуються.
Знаходимо
.
Таким чином, невласний інтеграл збігається, отже і числовий ряд є збіжним.
2)
Запишемо
загальний член ряду
.
Перевіряємо необхідну умову збіжності
числового ряду:
.
Отже, числовий ряд є розбіжним.
3)
Загальний
член ряду має вигляд
.
Перевіряємо необхідну умову збіжності:
.
Необхідна
умова виконується. Далі використовуємо
достатню умову збіжності, а саме
інтегральну ознаку Коші. Тут
- додатна, неперервна і монотонно спадна
функція для всіх
.
Умови інтегральної ознаки виконуються.
Знаходимо
.
Невласний інтеграл є збіжним, отже і числовий ряд збігається.
4)
;
Загальний
член даного ряду має вигляд
.
Для дослідження використаємо достатню
умову збіжності, а саме ознаку Даламбера.
Маємо
,
,
тоді
.
Отримали,
що
,
отже числовий ряд є розбіжним.
5) .
Загальний
член даного ряду має вигляд
.
Перевіряємо необхідну умову:
.
Використовуємо достатню умову збіжності, а саме ознаку Даламбера. Маємо
,
,
тоді
.
Отримали,
що
,
отже числовий ряд є збіжним.
6) .
Загальний
член даного ряду має вигляд
.
Перевіряємо необхідну умову:
.
Використовуємо достатню умову збіжності, а саме радикальну ознаку Коші. Маємо
.
Отримали, що , отже числовий ряд є збіжним.
7) .
Даний
ряд є знакопереміжним. Перевіримо
виконання умов теореми Лейбниця.
Загальний член ряду
,
тоді
.
Порівняємо ці доданки:
,
Отримали,
що
, отже послідовність, що складається з
абсолютних величин членів ряду не
зростає. Перевіряємо другу умову:
.
Таким
чином, наш ряд збігається за теоремою
Лейбниця. Проведемо дослідження на
абсолютну та умовну збіжність ряду.
Складемо ряд з абсолютних величин:
.
Для дослідження застосуємо ознаку
порівняння. Порівняємо наш ряд з
гармонічним
.
Маємо
.
Члени даного ряду більше відповідних членів розбіжного гармонічного ряду. Тому, за ознакою порівняння, такий ряд є розбіжним. Отже знакопереміжний ряд є умовно збіжним.
8) .
Маємо
знакопереміжний ряд. Перевіримо виконання
умов теореми Лейбниця. Загальний член
ряду
,
тоді
.
Порівняємо ці доданки:
,
Отримали, що , отже послідовність, що складається з абсолютних величин членів ряду не зростає. Перевіряємо другу умову:
.
Таким
чином, наш ряд збігається за теоремою
Лейбниця. Проведемо дослідження на
абсолютну та умовну збіжність ряду.
Складемо ряд з абсолютних величин:
.
Для дослідження застосуємо ознаку
Даламбера. Маємо
.
Отримали, що , отже ряд з абсолютних величин є розбіжним, тому знакопереміжний ряд збігається умовно.
Завдання 2. Визначити область збіжності ряду:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.