Построение математической логики.

Математическая логика является теорией (т.е. целостной системой абстрактных объектов, отражающей основные закономерности логического мышления) в том плане, что ее основными структурными компонентами являются:

1. концептуальный базис (т.е. исходные понятия и основные отношения между этими понятиями, выраженные в форме аксиом, законов, гипотез).

2. Дедуктивные средства (т.е. отношение логического следования, выраженное в форме тех или иных правил логического вывода).

3. Содержательная надстройка (т.е. совокупность суждений, выраженных в форме конкрентных высказываний и теорем, полученных из концептуального базиса с помощью дедуктивных средств).

В том случае, когда абстрактные объекты теории отображаются с помощью формального или формализованного языка L=<A,S> (соответственно, L₁=<A,S> , L₂=<A, S₁, S₂> , где А – алфавит символов, S₁ – синтаксические правила построения языковых выражений FA^* , S₂ - семантические правила ) и явным образом определены постулаты D (т.е. аксиомы A_x  F A^* идедуктивные средстваP Fⁿ⁺¹),то говорят о построении теории как формальной системы F.S. = <L, D> = <A, S, A_x, P><A,F,A_x, P>.Примером так построенной теории в читаемом курсе будут рассмотрены исчисления высказываний и предикатов (это т.н. логические исчисления).

Другим подходом к построению математической логике является - содержательный, т.е. неформальный. В этом случае аксиомы и дедуктивные средства явным образом не определяются (т.е. постулаты в таком построении теории используются интуитивно). Примером содержательно построенной математической логикой является алгебра логики – алгебра высказываний А₁=<{U, }, , , > и алгебра предикатов А₂=< F, , {U, }²{U, },  > (где F – множество предикатных формул,  - символ отрицания, {U, }²{U, } – бинарные логические связки, - квантор всеобщности,  - квантор существования).

Замечания.

1. Содержательная надстройка современных теорий строится на основе точно заданного концептуального базиса нечетко определенных дедуктивных средств.

2. Необходимым, но недостаточным условием научной состоятельности теории является ее внутренняя непротиворечивость.

3. Логические исчисления являются важнейшей разновидностью формальных систем F.S. От других формальных систем ( например, интегрального и дифференциального исчисления) логические исчисления отличаются чисто логическим пониманием правильно построенныхязыковых выражений FA^* и правил вывода P :(F₁, F₂,…, F_n, F_n+1)Fⁿ⁺¹

4. На основе логических исчислений строятся ( путем присоединения некоторых дополнительных аксиом) прикладные исчисления.

5. Для всякого логического исчисления важное значение имеет вопрос о его непротиворечивости, независимости, полноте, разрешимости.

6. Говорят, что всякая интерпретированная формальная система (т.е. когда L=<A, S₁, S₂> ) представляет собой формализованный язык, в котором заданы S₁ - правила синтаксиса и S₂ - правила семантики (интерпретации). Именно в этом плане изучаемые в курсе исчисления высказываний _в и предикатов _п являются интерпретированными логическими формальными системами (или логическими языками). Примером интерпретированных прикладных логико-математических F.S. (или т.н. логико-математических языков) являются различные аксиоматико-дедуктивные теории множеств.

7. F.S. есть порождающая процедура (т.е. аксиоматико-дедуктивный способ индуктивного порождения элементов множества из исходных объектов, рассматриваемых как аксиомы, или разрешаемое подмножество A_x  F), а интерпретация, как метод, является распознающей процедурой (т.е. способом распознавания принадлежности объекта заданному множеству).

8. Правила выводаPформальной системы < L, D > есть конечное множество вычисляемых (разрешающих) отношений на множестве языковых выражений FA^*.

Для лучшего усвоения формального построения теории приведем примеры формальных систем F.S., несвязанных с логическими интерпретациями.

Пример 1. ПустьF.S.= <A,S,A_x, P>есть описание (интерпретация) игры в шахматы, т.е. F.S. описывает множество допустимых шахматных позиций. В этом случае алфавит А состоит из 64 клеток доски, занятые фигурами и свободные; синтаксические правила S порождают множество допустимых позиций F; аксиомой (единственной) A_x является исходная шахматная позиция; правилами Pявляются правила, определяющие следующие ходы (чередование ходов белых и черных фигур, правила взятия фигур, рокировки, допустимого хода фигур на свободные клетки) и заключительные позиции – ничейные, матовые.

Пример 2. Фраза русского языка описывается F.S., алфавит которой А – алфавит русского языка, S – грамматические правила построения слов русского языка F, аксиомы A_{x –} слова фразы, а правила вывода P,т.е. правила построения фразы из слов – правила синтеза фраз в грамматике русского языка.

Пример 3. Формальная грамматика есть формальная система, описывающая синтаксис искусственного языка. В этом случае алфавит А есть объединение двух непересекающих подмножеств символов терминального Т и вспомогательного V словарей (т.е. А=ТV), а формулами – цепочки из этих символов (т.е. FТV^*). Единственная аксиома  в этой формальной системе является элементом вспомогательного словаря V (т.е. V), правило вывода позволяет получать цепочки в терминальном алфавите ( эти цепочки являются словами искусственного языка – множества, порождаемого формальной грамматикой) и имеют вид h, где , hТV^*. Так, формальная грамматика (система)  порождает (описывает) множество (язык) нечетных чисел в унарном представлении, т.е. множество цепочек вида , ,…, ^2n-1,… (здесь nN ).

Пример 4. Индуктивное определение можно представить формальной системой, аксиомы которой перечислены в базисе (первом пункте) определения, а правила вывода – в индуктивном (втором пункте) шаге. Необходимым условием перехода к формальной системе в этом случае является разрешимость множества аксиом.

Так, индуктивное определение двухполюсной системы вида

б

а

с

d

k

Может быть следующим:

1. объект ха, б, с, д,…, к является схемой, полюсы которой совпадают с полюсами объекта (язык построения объекта L( может быть описано, например, какой-нибудь формальной грамматикой)

2. если С_i и С_j – схемы, то

C_i

C_i

C_j

C_j

также схемы (это т.н. правила последовательного p₁ и параллельного p₂ соединения схем в схему)

3. других схем нет.

В этом случае F.S.= < L (),а, б, с, д,…, к, p₁, p₂ >

ЯЗЫК КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ L_В = <A_В, F_В>.

А. Синтаксис языка Л.В,

Перечисленные множества исходных символов алфавита A_В и правил образования языковых выражений, составляет синтаксис языка логики высказываний (Я.Л.В.).

1. Алфавит Я.Л.В.

A_{В =} ₁₂₃; _i_j = , ij; ₁={p, q, x, y,…,p₁, q₁, x₁, y₁,… p₂, q₂, x₂, y₂,… } – множество дескриптивных (нелогических) символов, называемых пропозициональными термами (переменными). Эти символы используются как параметры (буквы) простых высказываний (при выявлении логических форм контекстов естественного языка). ₂={} – множество логических символов (констант), называемых пропозициональными связками. Эти символы являются терминами, обозначающими логические отношения и образующие функционально-полную систему (т.е. из них можно выразить любую логическую функцию).

₃={(,) } - множество разделительных (технических) знаков

Примечание.

1. ₁₂ – есть множество значащих символов.

2. В языке логики высказываний логические связки получают единую и постоянную интерпретацию ( - не;  - или;  - и;  - если…то), а пропозициональные переменные в составе формул и формулы могут получать различные интерпретации от случая к случаю. Существование такой интерпретации определяет семантику языка.

2. Языковые выражения Л.В.

Языковыми выражениями в логике высказываний являются формулы, называемые пропозициональными формулами. Язык формул с переменными x,y,z порождается формальной грамматикой= <Т,V,,P>,где Т= x,y,z,  ; V ={},P =хy, z

Замечание.

1. В алгебре логике формулы Я.Л.В. являются аналитическим способом представления (реализации, задания) пропозициональной функции {U, }²{U, }, а в логике высказываний – логическими формами высказываний.

2. Принять следующие сложные высказывания (задаваемые их логическими формами, т.е. формулами Я.Л.В.) (ху), (ху), х  у, х называть соответственно дизъюнктивным, конъюнктивным, импликативным и отрицанием, связки   - дизъюнкцией, конъюнкцией, импликацией, отрицанием.

Б. Семантика Я.Л.В.

Интерпретации подлежат пропозициональные переменные и пропозициональные формулы. Поскольку логические связки имеют постоянную интерпретацию, то формулы, приобретя тем самым некоторый смысл, представляют собой логические формы сложных высказываний. В таком смысле пропозициональные формулы называют полуинтерпретированными. Полная интерпретация формулы получается в результате приписывания истинностных значений пропозициональным переменным. В этом случае полностью интерпретированная формула есть некоторое высказывание Я.Л.В. Поскольку каждой формуле Я.Л.В. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающей зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений ее переменных, то имеем для логических связок их табличное представление.

Пропозициональные переменные	Пропозициональные формулы
x	y	х	(ху)	(ху)	х у
		U			U
	U	U	U		U
U			U		
U	U		U	U	U

Использование таких таблиц позволяет вычислить истинностное значение любой формулы Я.Л.В.

Пример. Вычислить истинностное значение высказывания вида:

((ху) х), если х=, у= U. Имеем

Переменные	Подформулы		Формулы
х	у	(ху)	х	(ху)х
	U	U	U	U

Т.е. при заданной интерпретации простых высказываний сложное высказывание истинно. Часто результат интерпретации формулы записывают так:

|((ху) х)| = И при х=, у= U.

Примечание. Для упрощения записи логических форм

1. вводят старшинство связок, а “лишние” скобки опускают;

2. используют производные связки (связки  в таком случае называют основными).

Пояснения:

1) о соглашениях по сокращению записи формул над множеством логических связок:

• внешние скобки формул опускаются

_

• формуле х записывается в виде х ;

• формуле (ху) записывается в виде ху ( т.е. скобки и символ операции опускаются);

• приоритет в последовательности применения связок возрастает в следующем порядке:  ( т.е. унарная связка  сильнее любой бинарной операции; связка  - самая сильная бинарная операция).

Эти соглашения позволяют записать формулу:

_ _

((((х) у)  z) ( х (y)  z)) записать в более компактном виде ( ху)zxyz

2) Производные связки для сокращения записи логических выражений

• оператор “эквиваленция”  (интерпретируется как союз естественного языка “тогда и только тогда”) позволяет формулу (ху)  (ух) записать в виде ху, т.е. (ху)(ух)= ху (часто  называют оператором эквивалентности)

• строгая дизъюнкция  (интерпретируется как союз “либо…либо” ) позволяет формулу (х y)  (х  у) записать в виде х  у (часто вместо символа  используется символ , т.е. пишут ху);

Введенные связки позволяют легко выявить логическую форму высказывания “треугольник не является прямоугольным тогда и только тогда, если верно одно из двух: он либо остроугольный, либо он тупоугольный”. Пусть для этого высказывания пропозициональными переменными будут х, у, z, т.е.:

х – треугольник прямоугольный,y - треугольник остроугольный, z - треугольник тупоугольный. Терминам “не” соответствует связка , “тогда и только тогда” - , “либо…либо” - . Логическая форма исходного высказывания х  (у z), в Я.Л.В. имеет вид:

_ _ _ _ _ _ _ _

(х  (у z))( (у z) х) = (хyz  yz)(yz  yzx)

Замечание. Высказывание, построенное из других высказываний с помощью оператора эквивалентности, называют тавтологией.

Пример. Сложное высказывание “Земля по форме есть эллипсоид Красовского тогда и только тогда, если неверно, что Земля не есть по форме эллипсоид Красовского”. Это высказывание (его логическая форма ₁ ₂ ) есть тавтология ₁ ₂, где ₁ – первое простое высказывание, а ₂ – второе простое высказывание исходного сложного высказывания.