1

Взаинооднознач. соотв., счетные множ-ва.

Определ-е : А, В – множ-ва.

Взаим –но одназн-м соотв-ем множ-ва А на мн. В назыв-т всяк. ф-ю f: A->B такую, что:

1) обл-ть опр-я = А

2) множ-во знач-й = В

3) ф-я f – инъективна:

любые a',a''  A [a'≠a'' , f(a') ≠f(a'') ]

Замечание : ВОС облад. следующ. св-ми :

1) если сущ-т ВОС f: A->B, то сущ-т ВОС f ' , котор. В отображ. на А (f ': В->А)

2) какое бы мы множ-во А ни взяли, всегда сущ-т f: A->B (симметр. ).

3) если есть ВОС f: A->B и есть вос g: B ->C , тогда сущ-т вос h: A ->C (транзитив.)

Если хотя бы одно из множ-в А и В, находящ. в вос, явл-ся конечн., то конечн. явл-ся и 2-е множ-во, и число эл-в в них совпад-т.

Будем назыв. множ. А и В эквивалент-ми A~ B , если меж. ними м. устан. ВОС.

2

Определ-е : множ-во назыв-ся счетным, если A~ N.

Примеры: 1) Ч – множ. всех четн. чисел. {2,4,6,8,......}

f: N->Ч , f(n)=2n/

2n=2m => n=m => A≠B

2) Z – множ-во всех цел. чисел

Z – счетно

...-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3...Z

.........5 3 1 2 4 6...N

8

Пусть Х – конечный алфавит

Wx – мн-во всех слов в алф Х

Х = {X₁, X₂, X₃, …, X_n}

Регулярными называются любые мн-ва слов в алфавите Х, получающиеся из пустого мн-ва и однобуквенного мн-ва слов путём приминения к ним в любом кол-ве и последовательности следующих операций

1) E₁ U E₂ – обычное объед

2) E₁E₂ = {W_x|=₁₂, ₁E₁, ₂E₂}

3) итерация мн-ва E

{E} = {/\, ₁,₂,…,_L|₁,₂, … _LE}

Теорема Клини: мн-во распознаваемо конечным автоматом в точности тогда когда оно регулярно

3

Рассм. некотор. св-ва счетн. множ-в.

Теорема1: Всяк. беск. множ. содерж. счетн. подмнож.

Док-во : Пусть множ-во А беск. (А≠0), тогда оно не пусто => в нем сущ-т какой-нибудь эл-т a_nA. А, явл-ся беск-м, не исчерпыв-ся элем-м a₁ (0≠A-{ a₁}) =>

сущ-т a₂ A-{ a₁}.

Сущ-т a₃ A-{ a₁ ,a₂}≠0

Продолжая эту процед., постр. послед-ть элем-в: a₁ ,a_2, a_3....

Они занумерованы натур. числами, а существ-е такой нумерации и означ-т счетноть

множ-в. {a₁ ,a_2, a₃...}c A

Теорема 2 : всякое беск. подмнож. счетного. множ-ва само счетно.

Док-во : пусть мн. А счетно, ВсА, В бесконечно.

Докажем, что В-счетно. Занумер-м все эл-ты мн-ва А: a₁ ,a_2, a₃ ... a_n

И вычеркнем из этого списка все элем-ты , не вход-е в В. Перенумер-м подряд все оставш. эл-ты.Ввиду беск-ти множ-ва В, при этом в кач-ве номеров будут исп-ся все натур. числа, иначе В оказалось бы конечным, Этим доказана счетность множ. В.

Теор.1 и 2 показ-т, что счетн. множ-ва – это самые маленькие множ-ва среди беск-х.

Теорема3 : объедин-е двух счетн. множ-в явл-ся счетным.

А,В счетны => АuB счетно.

При доп-м прежполож-и, что А∩B=0

Имеем ввиду счетность А и В.

А={ a₁ ,a_2....}

B={ a₁ ,a₂...}

Нумерация объедин-я А и В получ-ся так :

a₁ ,b₁ a₂ ,b₂ a₃ ,b_3......

1 2 3 4 5

Вывод – объедин-е А и В – счетно.

Следствие : объедин-е любого конечного числа счетн. множ-в явл-ся счетн.

Теорема4 : объедин-е счетн. семейства счетн. множ-в счетно.

Док-во : пусть A₁ ,A_2, A₃ ... A_n , ...... - некоттор. счетн. семейство множ-в., каждое из котор. счетно. Удобно занумер. эл-ты множ-ва A_n парами индексов. A_n= { a_n1 ,a_n2, a_n3...... }

Располож эл-ты всех этих множ-в в виде двоякобесконечн. матрицы.

A₁ : a₁₁ ,a_12, a_13......

A₂ : a₂₁ ,a_22, a_23......

A₃ : a₃₁ ,a_32, a_33......

Будем нумер. элем-ты по диаг. : a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₃₁ a₂₂ a₁₃ , при этом номера присв-ся только тем эл-м, котор. до этого номеров не получили. Мы полчу. взаимоодназнач. нумерац. множ-в объедин-я A_n . _n=1U^∞ A_n

И тем самым доказ-ся его счетн.

Покажем, что сущ-т несчетн. множ-ва.

4

Определ-е : множ-во А наз-ся несчетн., если оно

а) бесконечно

б) не явл-ся счетным.

Теорема5 : множ-во всех беск-х последоват-й, сост-х из 0 и 1, несчетно.

Док-во : 00011010011110......

Множ-во таких последоват-й беск-но.

Беск-но множ-во посл-й вида n(00000000)111111111

Докажем от противного, что оно не явл-ся счетн. : представ, что , напротив, все рассм. послед. можно занумеровать:

a₁ = a₁₁ ,a_12, a_13......

a₂ = a₂₁ ,a_22, a_23......

a₃ = a₃₁ ,a_32, a_33......

a_n = a_n1 ,a_n2, a_n3...

:

Построим послед. α= α₁, α₂, α₂, ..... и докажем, что она не совпад. ни с одной рассм. послед-ю.

α₁ = 1 - a₁₁ = {1, a₁₁₌0

{0, a₁₁₌l

α₂ = 1 – a₂₂ => α ≠ a₂

Послед-но определ. подобн. образом все эл-ты послед-ти α, так что α_n = 1 – a_nn => α ≠ a_n для любого n. Значит, α , сост-е только из 0 и 1 , не содерж-ся в данном списке. Значит, этот список не исчерп-т множ-во всех беск-х двоичных послед-й => это множ-во несчетно.

Замечание : постр-я в процессе док-ва послед-ть α назыв-ся диагональной; диагональной же назыв-ся конструкция, применяемая при доказат-ве.

Теорема5 говорит о множ-ве всех двоич. послед.(оно несчетно). Напротив, множ-во всех конечных дв. послед-й счетно .

5

Множ-во всех беск. послед., кажд. эл-т которых может принимать более 2-х знач-й также явл-ся несчетным: оно содерж. все беск. дв. послед-ти в качестве подмнож-ва и поскольку это подмнож-во несчетно, несчетным обяз. быть и объемлющее множ-во (теор2).

В частности, несчетным явл. множ. всех беск. послед-й, кажд. эл-т котор. есть 0,1,2,...9.

Отсюда практич. след-т теорема 6 :

множ-во всех действит. чисел несчетно : всяк действит. число задается своим знаком и беск-ой послед-ю цифр. Правда, некотор. действ. числа задаются неединств-м выражен-м вида , например :

1,000000......=0,999999..... = 9/10 + 9/10*1/10 + 9/10*(1/10)² +.....= q₁/1-q = (9/10) / (1-1/10)=1

Можно показ., однако, что действит-х чисел, допускающих разл. записи, имеется "немного" (они образ-т несчетн. множ.), а потому множ. всех действит. чисел все-таки несчетно.

6

Опр: Пусть A,B поизвольные мн-ва. Говорят, что мощность мн-ва А больше чем мощность мн-ва В (|A|>|B|), если 1) AB, сущ подмножество А1 в множестве А, кот = В.

Пример:

мн-во действ чисел имеет мощность большую чем N (Док-во: действительно R>N, да и вообще всякое несчётное мн-во имеет большую мощность чем любое счётное)

Т. Кантора:  множества А справедливо |2^A| > |A|, т.е. мощность множества всех подмножеств данного множества больше мощности этого исходного мн-ва.

Док-во:

1) построим A₁2^A и A₁  A.

А₁ = {{a₁}|aA}

A1  A: aA ; {a}A₁

2) Докажем, что А2^А

Действуем от противного.

Предположим, что сущ. взаимнооднозначное соответствие f отображ A2^A

D = {aA|af(a)}

D состоит из тех Эл-тов А, которые не входят в f(a)

DA

т.к. f – ВОС!

dA: f(d)=D = {aA|af(a)}

1) Предположим, что dD, значит df(d) dD

2) Предположим наоборот, что dD, значит d не входит в f(d) dD

Значит ф-ция f не является взаимнооднозначным соотв и мн-ва A и 2A не эквивалентны

7

Конечные автоматы – абстрактные автомат. устр., обладающие в отличие от контактных схем некоторой (конечной) памятью. Это значит, что если контакт. схема на одинаковые вход. сигналы всегда реагирует одинаково, то автомат помнит о своей реакции на эти сигналы в некоторые предыдущие моменты времени.

Всякий конечный автомат определяется 3 мн-вами и 2 ф-циями:

x = {x₁, … , x_k} – входной алфавит

y = {y₁, … , y_L} – выходной алфавит

Q = {q₀, q₁, … ,q_n} – мн-во внут сост

(x,q) – ф-ция переходов

(x,q) – ф-ция выхода

Всякий автомат работает под действием всевозможных слов из входного алфавита Х (множество всех слов в алфавите Х обозначают W_x)

Частным случаем введённых выше автоматов явл. так назыв. Автоматы Мура они характеризуются ем, что ф-ция (x,q) = (x,q), т.е выходной символ однозначно определяется с помощью ф-ции,  - следующее сост. автомата

Конечные автоматы можно использовать для распознавания различных множеств слов во входном алфавите.

Описание множеств распознаваемых автоматами Мура

Пусть Х – конечный алфавит

W_x – мн-во всех слов в алф Х

Х = {X₁, X₂, X₃, …, X_n}

Регулярными называются любые мн-ва слов в алфавите Х, получающиеся из пустого мн-ва и однобуквенного мн-ва слов путём приминения к ним в любом кол-ве и последовательности следующих операций

1) E₁ U E₂ – обычное объед

2) E₁E₂ = {W_x|=₁₂, ₁E₁, ₂E₂}

3) итерация мн-ва E

{E} = {/\, ₁,₂,…,_L|₁,₂, … _LE}

Приведем примеры множества слов, которое не распознаётся никаким конечным автоматом и, следовательно, не явл. регулярным

x = {0, 1} E = {W_x| число нулей в  равно числу единиц}

E

Рассмотрим все состояния

(q₁……q_L)  Q_E и достижимы из состояний q0

Поскольку эти состояния входят в qE мы попадаем в них под действием слов (₁, …, _L)E, значит в каждом из этих слов количество нулей не равно количеству единиц, но всякое такое слово, с помощью подходящего продолжения, можно превратить в слово, содержащее одинаковое число 0 и 1 и поэтому входящее в E. Но тогда под действием каждого из новых, удлинённых слов, автомат будет попадать в мн-во qE. Значит из каждого из состояний входящего в qE ведёт путь в одно из сост qE, длинны этих путей равны.

Положим M = max {|₁’|,…,|_L’|}

Значит под действием этого слова автомат переходит в одно из состояний q₁,…, q_L.

Но из каждого из них имеется путь длинной не более M, ведущий в мн-во qE. Однако любое продолжение выбранного нами слова имеющего длину не более M даёт слово в E не входящее. Тот факт, что под действием такого продолженного слова автомат попадает в qE противоречит опр. распр мн-ва значит никакой автомат данное мн-во не распозн.

В силу теор Клини, это мн-во E как и любое др, не распозн. автоматом мн-во; не явл. регулярным.

10

Изложим алгоритм построения по данной регулярной формуле конечного автомата распознающего это мн-во

Пусть Ф – регулярная ф-ла. Она содержит помимо символов операций x₁, x₂, x₃, …, x_n только буквы входного алфавита. Переименуем вхождение каждой из этих букв в форму . Состояниями строящегося автомата будут служить различные подмножества нумерованных вхождений той или иной буквы, а так же начальное сост q₀, если q_i={xⁱ¹₁,…,x^im₁} и x_jX, то (x_i,q_i) определяется как мн-во всех вхождений в формулу Ф символа X_j, которые могут следовать за любым из вхождений символа X₁ в названии сост. q_i

Подмножество Q_E состояний, в которые автомат должен переходить под действием мн-ва слов E, задаваемого ф-лой Ф определяется как мн-во всех сост., в названии которых входит хотя бы одно заключительное вхождение

11

Алгоритмом называют всякую точную инструкцию, предназначенную для решения массовых проблем дискретного характера, выполнение которой представляет собой дискретную последоват действий, детерминировано приводящую к однознач определён рез-ту.

Полезно иметь некоторую формальную модель алгоритма. Это нужно для того, чтобы иметь возможность доказывать отсутствие алгоритмов для решения тех или иных задач. Таких моделей имеется много. Рассмотрим простейшую, называемую машиной Тьюринга

Каждая м.Т. перерабатывает информацию, записываемую на рабочей ленте, бесконечной в обе стороны. Эта лента разделена на ячейки. Имеется конечный алфавит X={x₁,…x_k}. В каждой ячейке ленты записывается один из символов этого алфавита. Переработка информации ведётся управляющим устройством УУ. В каждый момент дискретно меняющегося времени, УУ нацелено на одну из ячеек. Имеется алфавит состояний q. Состояние q₀ наз начальным. УУ в каждый момент времени находится в одном из этих состояний. Работа машины определяется её программой. Пр-ма есть неупорядоченная система команд. Всякая команда имеет вид:

q_ix_jq_i’,x_j’,μ

или q_ix_jСТОП

Под действием команд 2-ого типа машина останавливается. Выполнение команды 1-ого типа состоит в том, что символ x_j в рассматриваемой ячейке заменяется на x_j’, внутр сост q_i – на q_i’ и УУ сдвигается или остаётся на месте в зависимости от значения μ. Сдвиг влево или вправо. μ =0 – сдвига нет.

В программе имеется не более одной команды с фиксированной левой частью.

Выполнение программы состоит в последоват выполнении соотв команд до тех пор, пока не будет выполнена пр-ма с требованием СТОП или не будет достигнута ситуация, когда выполнение никакой команды невозможно. Для опр начальных данных возможно зацикливание, те бесконечное выполнение одной команды за другой, ы этом случае считают, что работа машины не даёт рез-тов.

М.Т. будут использоватся в основном для вычисл ф-ий вида f : NN или N^lN. N={0,1,2,3…}

Натуральная n обозначается из n+1 чёрточки. В начале на ленте запис то или иное натур число, УУ устанавливается напротив левой единицы. Результатом вычисления считается слово, запис на ленте в момент остановки машины

f(n)=2n

1q₀aq₁П

λq₁λq₃Л

1q₁aq₂Л

aq₂aq₂Л

λq₂aq₁П

aq₁aq₁П

aq₃1q₃Л

λq₃СТОП

Различные наблюд показвают, что М.Т. обладают универсальными возможностями. Будем называть ф-ию f : NN вычислимой, если сущ алгоритм вычисления ф-ии f.

Ф-ию f назовём Т-вычислимой, если её значение вычислимо некоторой м.Т. Всякая Т-вычислимая ф-ия явл вычислимой.

12

Пусть К – некоторый класс ф-ий f : NN. Пусть F(n,x) – универс ф-ия для К, если выполнены:

1)Vn₀ЄN F(n₀,x)ЄK

2)Vf(x)ЄK En₀ЄN f(x) = F(n₀,x)

F(x, c₁,c₂,…,c_k)

Теорема о сущ универс. ф-ии.

Класс К обладает универсал ф-ией, если он:

1)не пуст

2)является не более, чем счётным

Например, для счётного класса имеем:

K = {f₀,f₁,f₂…,f_n,..}

F(n,x) = f_n(x)

Определение. Пусть f(n,x) – ф-ия двух переменных. Будем говорить, что некоторая М.Т. вычисляет значения этой ф-ии, если всякий раз, когда на ленте записаны значения аргументов n и x с одноклеточным пробелом между ними и УУ в нач сост q₀ нацелено на самую левую единицу, эта машина, проработав некоторое время, остановится, когда на ленте имеется запись рез-та f(n,x). Если f(n,x) не определено, то машина либо продолжает работу до беск., либо выдаёт рез-т, не явл записью натур числа. Аналогично опред Т-вычислимость ф-ий любого числа переменных.

13