Тезис Чёрча

Всякая вычислимая ф-ия Т-вычислима., т.е. если сущ к.-либо неформальный алгоритм вычисления значения ф-ии f, то эта ф-ия вычисляется подходящей М.Т.

Тезис Ч. не подлежит док-ву, т.к. устанавливает связь между точным понятием М.Т. и интуитивным представлением об алгоритме.

Основные аргументы.

1)Для вышеперечисленных ф-ий, для которых предпринимались эти попытки построить М,Т,, вычисляющие эти ф-ии.

2)Было предложено много других формальных моделей для понятия алгоритма, и все они, претендовавшие на универсальность, оказались эквивалентными.

3)Существут ряд операций над ф-ией, сохраняющих вычислимость. Это значит, что если все ф-ии, над которыми выполняется соотв операция, вычислимы, то вычислимой ф-ией оказывается и результат этой операции. f,gg(f(n))

Для каждой из таких операций при условии, что исходные ф-ии Т-вычислимы, удавалось построить М.Т., вычисляющую результирующую ф-ию. В силу тезиса Чёрча Т-вычислимая и вычислимая ф-ии одно и то же.

14

Основная теорема о вычислим универ ф-ии

Существ вычислимая универсал ф-ия для класса β(1) всех вычисл ф-ий одного переменного.

X={λ,1,a₁,…,a_k}

Q={q₀,q₁,…,q_n}

Док-во.

Занумеруем все (с точностью до изоморфизма) М.Т., вычисляющие ф-ии одного переменного. Для этого введём стандарт обозначения: каждая такая машина будет работать в алфавите X={λ,1,a₁,…,a_k} и иметь мн-во состояний Q={q₀,q₁,…,q_n}

Алфавит и мн-во состояний характ-ется 2-мя натур числами k и n. Все пары натур чисел можно занумеровать. Это значит, что сущ. алгоритм по паре (k,n), вычисляющ. её номер υ(k,n), а потому, сущ и др алгоритм по номеру пары, восстанавл эту пару (k,n). С др стороны прог-мы всех М.Т., харак-ся парой (k,n) образуют конечное мо-во, причём для нумерации этих конечных мн-в сущ некий единый способ (сначала нумерац пр-мы, сост из одной команды, затем из 2-х команд и т.д.) Нумеруя сначала все пр-мы, соотв 1-ой паре, затем прог-мы, соотв 2-ой паре и т.д., получим нумерацию всех М.Т. рассматр типа. Введём ф-ию Ф(n,x), значения которой вычисляются в соотв со следующ алгоритмом:

Возьмём пр-му с номером n и запустим М.Т. с этой прогой вычислять знач ф-ии, соотв этой машине. Построенная ф-ия Ф(n,x) – вычислимая универс ф-ия для класса β⁽¹⁾. Она вычислима, т.к. имеется алгоритм вычислений её значений.

Всякая ф-ия Ф(n₀,x) явл вычислимой, т.к. всякая ф-ия одного переменного, получ из вычислимой ф-ии 2-х переменных фиксацией одного из её аргументов, вычислима. Для всякой вычислимой ф-ии, т.е. из класса β⁽¹⁾, сущ такой номер n_f, что:

VfЄβ⁽¹⁾ En_f Vxf(x)=Ф(n_f,x)

Т.к. f вычислима, она вычисл некоторой машиной Тьюринга Т_f и в качестве n_f достаточно взять номер пр-мы этой машины. Чтд.

15

Следствие 1

Пусть Ф(n,x) – построен выше вычислимая универсал ф-ия. Тогда вычислима и ф-ия Ф(x,x). Вычислима и Ф(x,x)+1. Но Ф(n,x) – универс ф-ия, поэтому En₀, Ф(x,x)+1 = Ф(n₀,x) при x=n₀

Ф(n₀,n₀)+1 = Ф(n₀,n₀)

Последнее противоречивое равенство означает, что значение Ф(n₀,n₀) не определено. Значит, универсальная ф-ия Ф(n,x) не всюду определена.

Следствие 2

Расс-рим вопрос о сущ у ф-ии Ф(n,x) вычислимого всюду определённого продолжения. Говорят, что ф-ия Ψ(n,x) явл продолжением для ф-ии Ф(n,x), если графие Г_Ψ содержит график ф-ии Г_Ф или равносильно Ф(n,x) опр  опр Ψ(n,x), Ф(n,x) = Ψ(n,x)

Ψ(n,x) – всюду опред выч ф-ия, продолжающая ф-ию Ф

Ψ(x,x) - всюду опред выч ф-ия

Ψ(x,x)+1 - всюду опред выч ф-ия

Т.к. Ψ(x,x)+1 вычислима, сущ число n₀, такое что Ф(n₀,x) = Ψ(x,x)+1

Т.к. ф-ия Ψ продолжает ф-ию Ф, имеем: Ф(n₀,x)= Ψ(n₀,x), т.е. Ψ(n₀,x) = Ψ(x,x)+1

Эта ф-ия всюду определена. x=n₀ – противоречие. Ψ(n₀,n₀) = Ψ(n₀,n₀)+1

Значит, вычислим. и всюду опр. продолжения у универс. ф-ии Ф не сущ.

17

Множество А, входящее в множество натуральных чисел называется разрешимым, если вычислима его характеристическая функция χ_А.

χ_A(n) = 1, Если n принадлежит А

χ_A(n) = 0, Если n не принадлежит А

Иными словами множество А разрешимо, если существует алгоритм, решающий вопрос о принадлежности произвольного натурального n этого множества.

Пример:

1) любое конечное множество разрешимо {n₁ n₂ … n_k}

2) множество всех четных чисел – разрешимо,

Теорема: о свойствах замкнутости класса разрешимых множеств.

Если множество А и В разрешимо, то разрешимо и :

A U B, A ∩ B, A = N – A, A * B = {(a,b)| a принадлежит A? и принадлежит В}

Доказательство: 1)Ā : χ_Ā = 1 - χ_A

2)A*B : χ_A*B(n, m) = χ_A(n) * χ_B(m)

18

Понятие перечислимого множества связано с так называемыми машинами Тьюринга перечислительного типа.

(n₁, ƒ(n₁)), (n₂, ƒ(n₂)) …(n_k, ƒ(n_k))

Машины перечислительного типа работают так: они не имеют устройства ввода и, будучи запущены один раз, они работают бесконечно, выводя время от времени на выходе пары чисел вида (n_k, ƒ(n_k)), где ƒ(n_k) – функция вычисления, которой занимается данная машина, а числа n_k пробегают в точности область определения этой функции. Таким образом, машину, вычисляющая эту функцию порождает все точки графика этой функции.

При этом пары (n_k, ƒ(n_k)) порождаются машиной в произвольной последовательности с произвольными же промежутками времени между появлениями соседних пар. Покажем на неформальном уровне, что перечислительные машины вычисляют те же (вычислимые) функции, что и обычные машины Тьюринга.