При выполнении контрольных работ возможно применение Excel других математических пакетов, например, MathCad, Maple и других.

При возникновении затруднений при решении задач студент может обратиться (устно или письменно) за консультацией на кафедру «Прикладная математика и эконометрика» СПбГУСЭ

Глава I. Антагонистические игры.

Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum)  - это некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.

Антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока. Антагонистические игры -часть более широкого класса некооперативных игр.

Введем необходимые для дальнейшего понятия.

1.Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, занимающаяся разработкой различного рода рекомендаций по принятию оптимальных решений в условиях конфликта.

2.Формализованная модель конфликта в теории игр называется игрой. Игра ведётся по определённым правилам, которые чётко определяют права и обязанности сторон, участвующих в игре, а также исход игры – выигрыш или проигрыш. Конфликтующие стороны называются игроками. Одна реализация игры называется партией. Выбор игроком того или иного действия называется ходом. Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока).

3.Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией. Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

4.Основная задача теории игр состоит в определении оптимальных стратегий игроков.

5.Решение игры — нахождение оптимальных стратегий обоих игроков и определение цены игры Решение игры может быть найдено либо в чистых стратегиях — когда игрок должен следовать одной единственной стратегии, либо в смешанных , когда игрок должен c определенными вероятностями применять две чистые стратегии или более. Последние в этом случае называются активными .

6. Цена игры — ожидаемый выигрыш (проигрыш) игроков.

7.Теория игр занимается изучением только стратегических игр. В настоящее время наиболее простой и проработанной является теория матричных игр двух игроков с нулевой суммой. «Нулевая сумма» означает, что сумма выигрыша одного игрока равна сумме  проигрыша другого.

Рассмотрим конечную игру двух игроков А и В, в которой игрок А может применить одну из стратегий

а игрок В – одну из  стратегий

Будем предполагать везде далее, что игрок А выигрывает, а игрок B проигрывает

Пусть каждая из сторон выбрала стратегии  и  соответственно ( фиксированы, ). Через  обозначим исход игры (сумму выигрыша игрока А или, что то же, сумму проигрыша игрока В). Предположим, что нам известны значения  при всех    Эти значения можно записать в виде матрицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В:

Эту матрицу будем называть платёжной матрицей. Величина

называется нижней чистой ценой игры или максимином, а величина

называется верхней чистой ценой игры или минимаксом.

Чистую стратегию игрока А, гарантирующую ему максимальный выигрыш, называют максиминной, а чистую стратегию игрока В, гарантирующую ему минимальный проигрыш, – минимаксной стратегией. Максиминная и минимаксная стратегии называются оптимальными стратегиями игроков А и В соответственно.  Принцип, который определяет выбор игроками своих оптимальных стратегий, называют принципом минимакса.

 

8.В теории матричных игр доказывается, что . Решение матричной игры, т. е. нахождение наилучших способов её ведения, производится по–разному, в зависимости от того, или . Рассмотрим эти случаи:

1). Если то величина называется ценой игры. Подобные игры называются играми с седловой точкой, а элемент платёжной матрицы , соответствующий максиминной ( ) и минимаксной ( ) стратегиям игроков, называется седловым элементом (седловой элемент – это элемент платёжной матрицы, наименьший в своей строке и наибольший в своём столбце).

Следует отметить, что оптимальные стратегии игроков в играх с седловой точкой обладают тем свойством, что отклонение от своей оптимальной стратегии только одного игрока может лишь ухудшить положение отклонившегося.

2).Решение матричной игры с  находят, используя так называемые смешанные стратегии игроков – случайное чередование отдельных чистых стратегий с определённой вероятностью.

9.Критерий оптимальности стратегий. Для того, чтобы стратегии Р* и Q* были оптимальными стратегиями соответствующих игроков, а число v было ценой игры, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

M(P_i, Q*) ≤ v≤ М(Р*, Q_j),

где Р, (i = 1, 2, .. , , m) - всевозможные чистые стратегии первого игрока, Q,; (j = 1, 2, ... ,п) -- всевозможные чистые стратегии второго игрока.

10.Основная теорема теории игр (теорема фон Неймана). Любая матричная игра имеет решение, то есть существуют оптимальные стратегии и цена игры