3) Площа плоскої фігури в полярній системі координат

Розглянемо плоску фігуру, обмежену кривою, заданою в полярній системі координат неперервною функцією і променями і . Таку фігуру називають криволінійним сектором.

Обчислимо площу криволінійного сектора.

Р озіб’ємо відрізок на частин

.

Через кожну точку , проведемо промінь. Ці промені розіб’ють сектор на елементарних секторів. Очевидно, що площа всього сектора дорівнює сумі всіх площ елементарних секторів.

В кожному відрізку виберемо довільну точку . Площа елементарного сектора, обмеженого кривою і променями і наближено дорівнює площі кругового сектора, обмеженого тими самими променями і дугою кола радіуса :

, де

Побудуємо суму . Ця сума буде інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю відрізка і даному вибору проміжних точок . Тоді

.

Отже, площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:

(4)

4. Обчислення довжини дуги гладкої кривої

1) Довжина дуги в декартовій системі координат

Нехай дуга кривої, заданої рівнянням , де – неперервної на відрізку функція.

Д овжиною дуги кривої називається границя, до якої прямує довжина вписаної до неї ламаної, коли найбільша з її ланок прямує до 0.

Обчислимо довжину ламаної:

або

.

За формулою Лагранжа , де . Отже, сума буде інтегральною сумою функції . Таким чином, довжина дуги кривої обчислюється за формулою:

(5)

2) Довжина дуги кривої, заданої параметрично

Якщо крива задана параметрично

,

то

(6)

Довжину дуги гладкої просторової кривої, заданої рівняннями

обчислюють за аналогічною формулою:

3) Довжина дуги в полярній системі координат

Нехай крива в полярній системі координат задана рівнянням , де – неперервна на відрізку функція. Якщо в рівностях , параметром вважати кут , то ,

і , тому за формулою (6)

(7)

5. Обчислення об’єму тіла.

Нехай в нас є деяке тіло і нехай відомі площі перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до, наприклад, осі :

Тоді утворені між перерізами тіла можна вважати циліндрами з основами і висотами . Очевидно, що об’єм всього тіла дорівнює сумі всіх об’ємів елементарних циліндрів.

Побудуємо суму . Ця сума буде інтегральною сумою функції . Тоді

.

Отже, об’єм тіла обчислюється за формулою: , (8)

яка називається формулою об’єму тіла за площами паралельних перерізів.

6. Обчислення об’єму тіла обертання

Розглянемо, зокрема, об’єм тіла обертання. Нехай в нас є криволінійна трапеція, яка обмежена двома вертикальними прямими і , віссю і графіком невід’ємної і неперервної на відрізку функції . Якщо цю трапецію обертати навколо осі , то утвориться просторова фігура, яка називається тілом обертання:

О скільки площі паралельних перерізів , то за формулою (8), об’єм тіла, утвореного обертанням даної криволінійної трапеції навколо осі

. (9)

Якщо криволінійна трапеція обмежена двома вертикальними прямими і , віссю і графіком невід’ємної і неперервної на відрізку функції , то об’єм тіла, утвореного обертанням даної криволінійної трапеції навколо осі (10)