2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли 2-го роду)

Нехай функція має розриви в точках , . Якщо це розриви 1-го роду, то

Нехай функція неперервна на проміжку і необмежена поблизу .

В изначення. Нехай функція інтегрована на відрізку , де таке, що . Тоді границя називається невласним інтегралом другого роду по відрізку і позначається .

За визначенням .

Якщо границя існує і скінчена, то інтеграл називається збіжним, якщо ж ця границя не існує або нескінченна, то інтеграл називається розбіжним.

Аналогічно визначається інтеграл по відрізку від функції, неперервної на і необмеженої поблизу :

Якщо необмежена в околі деякої точки , то за умови існування обох невласних інтегралів і за визначенням покладають:

Ознаки збіжності невласних інтегралів 2-го роду.

Теорема 5. (ознака порівняння). Нехай для будь-яких виконується нерівність , і , при , тоді

1) Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

2) Якщо інтеграл розбігається, то розбігається й інтеграл .

Теорема 6. (гранична ознака порівняння). Нехай функції і неперервні і додатні на проміжку і необмежені поблизу . Тоді, якщо існує скінчена границя , то інтеграли і або водночас збігаються, або водночас розбігаються.

Теорема 7. (про абсолютну збіжність). Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

В цьому випадку 2-й інтеграл називається абсолютно збіжним. Якщо ж 1-й інтеграл збігається, а 2-й розбігається, то 2-й називається умовно збіжним.

Теорема 8. (про порівняння). Нехай функції і неперервні на і необмежені поблизу . Тоді:

1. якщо принаймні для значень , достатньо близьких до виконується нерівність , то із збіжності інтеграла випливає абсолютна збіжність інтеграла .

2. якщо принаймні для значень , достатньо близьких до виконується нерівність , то із розбіжності інтеграла випливає розбіжність інтеграла .

3. Обчислення площ плоских фігур

1) Площа плоскої фігури в декартовій системі координат

О бчислення площ в декартовій системі координат базується на відомій формулі площі криволінійної трапеції, яка обмежена двома вертикальними прямими і , віссю і графіком невід’ємної і неперервної на відрізку функції :

(1)

В

більш загальному випадку, якщо криволінійна трапеція обмежена двома вертикальними прямими і , віссю і графіками двох неперервних на відрізку функцій і таких, що , то її площа обчислюється за формулою:

(2)

Ця формула має місце і в тому випадку, коли плоска фігура лежить під віссю :

За формулою (2)

, звідки

В більш загальному випадку

З ауваження. В деяких випадках зручно змінні і міняти місцями, і обчислювати площу криволінійної трапеції за формулою:

2) Площа плоскої фігури при параметричному заданні межі області

Нехай задана криволінійна трапеція, яка обмежена двома вертикальними прямими і , віссю і графіком кривої, заданої параметрично:

,

де , – неперервні функції, які мають на відрізку неперервні похідні і . Тоді якщо на відрізку є монотонною, то для обчислення площі криволінійної трапеції достатньо зробити заміну змінної , . Тоді

(3)