5.2. Процесс управления динамической системой.

• пара векторных функций <U(t), Y(t)>, управления и соответствующей базовой траектории.

Примечание:

Фазовый портрет системы дает возможность провести анализ поведения системы, получив следующие сведения:

• переходный процесс для заданной совокупности начальных условий;

• тип переходного процесса;

• величину перерегулирования;

• устойчивость;

• автоколебание (амплитуда и частота);

• возможные режимы работы;

• рекомендации по корректировки системы.

5.3. Примеры расчетов по методам фазовых траекторий в двумерном пространстве состояний

а) Фазовый портрет линейной системы (консервативного звена)

Производим разделение переменных:

Интегрирование первого равенства дает уравнение фазовой траектории:

Постоянную интегрирования С можно определить из начальных условий. Через каждую точку плоскости проходит только один эллипс, отвечающий определенному значению С. Эллипсы не пересекаются, но имеют один общий центр (особая точка). Вся фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга эллипсами. Т.к. известно, что исходное уравнение имеет решением незатухающие колебания с круговой частотой , то фазовой траекторией, имеющей форму подобных эллипсов с общим центром отвечают незатухающие колебания системы.

x=dy/dt

y

б) Для системы с отрицательным статизмом, т.е. , фазовые траектории, описываются уравнением семейства равносторонних гипербол, отнесенных к главным осямx=dy/dx, y.

, в этом случае, точка равновесия- седло.

6. Основные языки представления моделей объектов управления в пространстве состояний.

Языковые модели ОУ

Аналитические Топологические

Детер- Стахасти- Опера- Векторные Скалярные

минированные ческие торные

6.1. Аналитические модели оу

а) Детерминированные.

Если воздействия на ОУ являются известными (детерминированными, не случайными, регулярными), то их можно представить в виде известных функций времени, а модель ОУ как детерминированную управляющую подсистему в форме Коши (векторного диф уравнения и вектора начальных условий):

y=f(y,u,t)

y(t0)=y0, - точка в n- мерном пространстве управления, - управляющее воздействие.

При этом пространство размерности и R² являются непрерывными пространствами состояний.

f- заданная векторная функция векторных предметов состояний и управления, и скалярного времени.

fF- множество функций, где F- класс функций, допускающих существование решения уравнений в форме Коши.

Примечание:

В практике проектирования САУ широко используется частный случай модели ОУ в следующей форме:

здесь: f(y,t)- векторная функция векторного аргумента состояния и скалярного времени

(y,t)- матричная функция размера n*r аргументов y и t.

Если ОУ рассматривается как линейная модель, то используют ее запись в виде:

здесь А и В- матрицы коэффициентов соответственно размера n*n и n*r.

б) Стохастические (вероятностные) модели.

Для описания движения стохастического ОУ используются модели в форме Ито и Ланжевена.

• Форма Ито:

x- вектор состояний; f- вероятностная функция векторов x, u и скаляра t.

(t)- q- мерный Винеровский случайный процесс (модель броуновского движения частиц жидкости); g(x,t)- матрица функции размера n*q.

• Форма Ланжевена:

, (t)- q- мерный случайный процесс типа «белого шума» (т.е. присутствуют все гармоники); математически- производная q- мерного Винеровского процесса с нулевым математическим ожиданием M[(t)]=0 и ковариационной матрицей

(t)

t

Примечания:

1. Уравнение, как математическая модель ОУ является записью задачи о разыскании таких элементов хХ, что f(x)=(x), где f: XY – отображение множества X в множество Y. В том случае, когда Х и Y являются множествами функций, то в зависимости от характера отображения (оператора) языком модели могут быть диф уравнения (как обыкновенные так и в частных производных) и интегральные функции.

2. Система с дискретным временем (как детерминированная так и вероятностная) описывается разностными уравнениями.

3. система управления называется детерминированной, если процессы в ней взаимосвязаны так, что можно проследить цепь причин и следствий. В таких системах каждому значению входного воздействия на ее любой элемент отвечают вполне определенные значения выходных координат системы.

4. В установившемся процессе (т.е. в статике, статическом режиме) детерминированная СУ описывается алгебраическими уравнениями.