Качественная теория дифференциальных уравнений.

Раздел теории управления, в котором поведение объекта исследуется по виду его эволюционной модели.

Проблема решения задачи устойчивости была бы снята, если можно было бы находить просто и легко корни характеристического уравнения эволюционной модели. Но решение в свободных радикалах возможно только для уравнений не выше 4-той степени.

Критерии устойчивости. Критерий Рауса.

Для того, чтобы все корни характеристического (векового) уравнения:

имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Nст Nстр	1	2	3	4
1
2
3

В первую строку выписывают коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами, во вторую – с нечетными.

, где

Т.о. третья строка получается перекрестным умножением первых двух строк и делением на первый элемент предыдущей строки. Все последующие строки получаются аналогичным способом из двух предыдущих строк.

Примечания:

1. Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения +1.

2. В первой строке таблицы Рауса число элементов равно целой части числа , а во второй.

3. В i-той строке таблицы Рауса при i>2 число элементов на 1 меньше, чем в (i-2)-ой строке.

4. Характеристический многочлен называется регулярным, если все числа первого столбца таблицы Рауса отличны от 0.

5. Необходимым условием устойчивости СУ любого порядка является положительность всех коэффициентов векового уравнения эволюционной модели системы.

Критерий Гурвица.

В этом случае роль таблицы Рауса играет матрица Гурвица, а роль первого столбца – последовательность главных миноров.

Пояснения:

1. Матрица Гурвица: i-ая строка имеет вид

a_l=0, l<0 или l>n (условие Гурвица)

Г) Минор D_k (k=1..n-1), образуется из определителя вычеркиванием в нем последних (n-k) строк и столбцов.

Пример:

Критерий Лгенар-Шипаро

Этот критерий является модификацией критерия Гурвица. Все вычисления сводятся к вычислению главных миноров только четного или нечетного порядка. Любое из следующих четырех условий является необходимым и достаточным для того, чтобы все корни векового уравнения (а_i - действительное число, а₀>0) имели отрицательные действительные части.

Пример: Для предыдущего примера получаем, т.к. все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то выполняется условие

Графические (геометрические) критерии устойчивости Критерий Михайлова

Все корни характеристического уравнения с действительными коэффициентами и а₀=1 имеют строго отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда комплекснозначная функция

Действ. перем.

описывает в комплексной плоскостиZ кривую (годограф Михайлова), начинающуюся на положительной действительной полуоси, не попадающую в начало координат и последовательно проходящую против хода часовой стрелки и квадрантов.

Пояснения:

1. Этот критерий равносилен критерию Рауса-Гурвица, однако носит геометрический характер и не требует проверки детерминированности неравенств.

2. По существу критерий Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента, т.е. приращение аргумента комплекснозначной функции.

здесь - приращение аргумента полиномапри изменении частотыω от 0 до , он равен разности левых (n-m) и правых m корней уравнения умноженных на .

3. Аналитическая формулировка критерия Михайлова имеет вид:

0

а графически изображаем годограф при изменении параметра (0, )

и - аргумент и фаза

Очевидно, что при ω=0 Х(ω=0)=а_n и Y(ω=0)=0

В зависимости от показателя степени векового уравнения Х(ω) и Y(ω) может быть отрицательной или положительной бесконечностью.

Форма годографа Михайлова для различных n:

ω

n=1

ω n=2

ω n=3

Признаком неустойчивой системы является нарушение числа и последовательности пройденных годографом Михайлова квадрантов координатной плоскости (в следствие чего угол поворота вектора оказывается ).