7.4 Частотные характеристики сау

Частотные характеристики (ЧХ) – характеристики, получаемые при применении в преобразовании Фурье импульсной переходной функции ( импульсных характеристик).

y

x

U

(t)

1. Описание линейных стационарных САУ ЧХ.

Линейную устойчивую систему можно определить как систему, для которой при подаче на вход гармонического сигнала (гармоники) , её установившаяся реакция в стационарном случае будет:

W(jω)

Замечание:

Для нестационарной САУ соответствующая реакция

Функция W(jω),которая получается из передаточной функции системы W(p)→W(jω) при замене в ней «р» на «jω» называется передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой.

Пример:

Пусть передаточная функция системы имеет вид:

Частотная передаточная функция будет иметь вид:

Примечание:

• В практике проектирование СУ часто используется вещественная и линейная ЧХ. Это означает, что:

• При записи комплексной передаточной функции в виде

-амплитудная ЧХ

-фазовая ЧХ

• Если , то угол

• Применение на практике логарифмической ЧХ получается логарифмированием показательной частотной передаточной функции

.

Принято величину как функцию переменнойlgWназывать логарифмической амплитудно-частотной функцией системы.

Аналогично: называют логарифмической фазово-частотной характеристикой.

Пример:рассмотрим описание следующей системы ЧХ

K=3R=200кОм С=10мкФ

Составим дифференциальное уравнение с учетом, что ток RC-цепи есть :

По второму закону Ньютона имеем для выходной цепи:

(*)

В алгебраизированной форме имеем:

(**)

Здесь τ- произведение RCи называется постоянной времени переходного процесса вRC-цепи при ступенчатом входном воздействии.

Передаточная функция системы есть инерционное (апериодическое) звено.

, К- коэффициент усиления.

Соответственно частотная передаточная характеристика имеет вид:

Для графического представления частотных характеристик подставим в формулы исходные условия:

W(j)=

Вещественно-частотная характеристика

Мнимая частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика

Фазово-частотная характеристика

д) Описание СЛАУ временными характеристиками

В настоящее время для описания САУ используются переходные и импульсно-переходные функции .

Переходной функцией (характеристикой) системы называется функция, описывающая реакцию (отклик) системы на функцию Хевисайда (единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях):

Импульсно-переходной (весовой) функцией системы (t) называется функция, описывающая реакцию системы на функцию Дирака при нулевых начальных условиях:

Примечание:

Связь между переходной и весовой функциями следующая:

Пример:

Определить h(t) и (t) для апериодического звена и построить соответствующие характеристики.

Дифференциальное уравнение, соответствующее этому звену имеет воздействие

Начальные условия: U_вых(t=0)=0

Переходную функцию звена найдем, считая, что входная функция есть функция Хевисайда

Общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего (**), имеет вид:

(***)

Для нахождения реакции звена применим метод вариации постоянной

С₁=С₁(t)

Подставляем (***) в (**) и имеем

Отсюда

(****)

Интегрируя, получим

Подставляя С₁ в решение однородного уравнения, имеем

Найдем С₂ из начальных условий

U_вых(t=0)=k+C₂=0 C₂= -k

Итак

Характеристика будет иметь следующий графический вид:

С учетом связи весовой характеристики с переходной, имеем следующую весовую функцию

Примечание:

Если ищется реакция линейной системы на произвольное входное воздействие (в примере функция Дирака и Хевисайда является типовым входным воздействием), то при известной весовой функции имеем:

y(t)- реакция системы

Этот, так называемый, интеграл- свертка (интегральное уравнение связи входа и выхода) справедлив при нулевых начальных условиях.

В этом преобразовании весовая функция есть ядро интегрального преобразования.